幾何代數(shù)學(xué)習(xí)講座

1、,幾何與代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo),主講: 劉國(guó)華,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,2010年國(guó)家級(jí)精品課程,線性方程組Ax=b,加法和數(shù)乘,轉(zhuǎn)置: (AB)T=BTAT,A?1: AB=BA=E,分塊運(yùn)算: 分塊轉(zhuǎn)置,初等行(列)變換,秩: r(A)=行(列)秩,Ak , f(A),Eigen pair: A?=?? (?≠?),相似: P?1AP=B,x?R3時(shí)判別直線和平面的位置關(guān)系,b可由A的列向量組A1, A2 , …,An線性表示,方陣的特征值和

2、特征向量 A?=?? (?≠?),方陣的相似對(duì)角化問題 P?1AP=?,實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角化Q?1AQ=diag(?1,…,?n),正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,直角坐標(biāo)變換化二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)形,AB: 交換律消去律,|A|: Rn?n ?R,tr(A)=?aii: Rn?n ?R,A*=(Aji): AA*=|A|E,相合: PTAP=B,正定: AT=A, xTAx>0 (?x≠?),判別解:r1<r2無解r1

3、=r2=n唯一解, r1=r2<n無窮多解,(A b)? rref,基解:非主列變量=e1..en?r,特解:非主列變量=0,?,?,,,,方陣,零矩陣,初等 矩陣,對(duì)稱 矩陣,對(duì)角 矩陣,單位矩陣,反對(duì)稱 矩陣,正交 矩陣,正定 矩陣,可逆 矩陣,,,,,,,,,,,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),方陣的特殊形式,?,,特殊矩陣,行矩陣A1?n: 只有一行, 又名行向量.,列矩陣An?1: 只有一列

4、, 又名列向量.,零矩陣: 每個(gè)元素都是0, 常記為Om?n或O.,初等矩陣: 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得.,方陣: 行數(shù)=列數(shù).,對(duì)稱矩陣: AT = A.,對(duì)角矩陣: diag{?1, ?2, …, ?n}, 常用?表示.,數(shù)量矩陣: kE, kI, 其中k為常數(shù).,單位矩陣: 主對(duì)角線元素都是1, 其余元素都是0, 常記為E或I.,反對(duì)稱矩陣: AT = ?A.,正交矩陣: QTQ =

5、 QQT = E.,正定矩陣: AT = A且?x ?? 有xTAx > 0.,可逆矩陣: AB = BA = E.,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),矩陣乘法消去率一般不成立.,,矩陣乘法的交換律和消去率,矩陣乘法交換率一般不成立,(AB)k,Ak Bk,?,(A+B)2,A2 + B2+2AB,?,(A+B)(A?B) ? A2?B2,但是，消去率在A可逆時(shí)成立.,矩陣乘積可交換的情況：,1. 方陣,4.,5.,AkAl=AlAk,3.

6、 (a Em) Am×n = Am×n(a En),2. 對(duì)角矩陣?? =??,?,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),非零子式的最高階數(shù),矩陣的秩,6) r(A) ? r(B) ? r(A?B) ? r(A) + r(B),,?A中至少有一個(gè) r級(jí)子式?0, 任一k(>r)級(jí)子式=0.,r(Am?n) ? min{m, n},,9) 設(shè)A是n(?2)階方陣, 則,2) A,B相抵 ?A,B同型, r(A)= r(B) =

7、 r(PAQ) (P,Q可逆).,3) r(Am?n) = r ? A? ??P,Q可逆,A =P Q.,?,設(shè) A, B 都是可逆方陣, 則,常用的分塊矩陣求逆和行列式公式,= |A| |B|,= (?1)mn |A| |B|,? |A| |B| ? |C| |D|,?,秩,階梯陣,r(A)=非0行數(shù),行變換,極大無關(guān)組(基),階梯陣,主列對(duì)應(yīng)原矩陣的列,行變換,行最簡(jiǎn)形,非主列的線性表示關(guān)系,解線性方程組

8、Ax=b (AX=B),(A b)行變換(A B)行變換,階梯陣,判別解:r1<r2無解r1=r2=n唯一解, r1=r2<n無窮多解,行最簡(jiǎn)形,基解:非主列變量為e1..en?r,特解:非主列變量為0,逆矩陣,行變換,行最簡(jiǎn)形,(A E)? (E A?1),行列式,行/列變換,三角形,某行(列)有一非0元素,注意對(duì)角線方向的符號(hào),按此行(列)展開,?,二. 用初等變換求逆矩陣,(左行右列),(A E),(E

9、 A?1),(A B),(E A?1B),解AX=B?X= A?1B,解XA=B?X= BA?1,一. 初等陣與初等變換,一次初等行變換,(左行右列),AB,E BA?1,,,,,三. 用初等變換解矩陣方程,一次初等列變換,?,方陣的行列式,定義,性質(zhì),計(jì)算,方程組Ax=b, |A|≠0,秩:r(A)=r??r級(jí)子式?0,任一k(>r)級(jí)子式=0,特征多項(xiàng)式: |?E?A|,伴隨矩陣: A*=(Aji), AA*=|A|E

10、,逆矩陣: A?1 = A*/|A|,面積/體積,叉積/混合積,|AT| = |A|.,|A| ?|A|.,|A| |A|.,1. 化為三角形行列式,3. 行列式按行(列)展開,2. 箭形行列式的計(jì)算,4. 提公因子法,5. 降階遞推法,? aik Ajk = |A|?ij ,,6. 分解行列法,行列式與矩陣的區(qū)別,| |,初等變換時(shí)用 =,[ ]或( ),初等變換時(shí)用?,?,n階方陣A可逆,?

11、 A與E相抵,? A的行最簡(jiǎn)形為E.,?A為初等陣的乘積,多角度看可逆陣,? A的行(列)向量組線性無關(guān),? 任一n維向量? 都可由行(列)向量組線性表示,? A的特征值均不為零,? A的行(列)向量組的秩都是n.,(非退化陣),(滿秩),? A的行(列)向量組是Rn的基.,? A為Rn的兩組基下的過渡矩陣.,? A的解空間的維數(shù)為0.,? A的列空間的維數(shù)為n.,? ATA為正定陣.,?,方陣A與E 相似 ? A = E ?,A與E

12、相合?A正定,??i >0,?p=n,?A=PTP,??k>0,,特 征 值 和 特 征 向 量,|?E–A| = |?E–(P?1AP)|,??i = tr(A), ??i = |A|,A可逆?A的特征值≠0, 1/?是A?1的特征值;|A|/?是A*的特征值.,|?E–A| = |?E–AT|,A? =?? ?f(A)? =f(?)?,對(duì)應(yīng)于不同特征值的 特征向量線性無關(guān),AT=A??

13、?R,對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交,相似對(duì)角化,,,P –1AP=diag(?1,…,?n),,?A有n個(gè)l.i.的特征向量,A(復(fù))???r(?iE?A)=n?ni,A有n個(gè)不同特征值?A??,A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.,?,Rn?n,Rm?n,相抵,相似,正交相似,Rn?n,實(shí)對(duì)稱,,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,為初等陣,,,,?i為特征值,①秩,②特征值,跡,行列式,①②,①秩,相合,Rn?n,③r,p,q,對(duì)稱

14、性,,①秩,③,實(shí)對(duì)稱,若A可相似對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱陣相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.,正定性,?,第六章 二次型與二次曲面,§6.3 二次曲面,,x = Qy,,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換,坐標(biāo)軸的平移,,g(y) = yT?y + B’Ty + c = 0,y = z+?,,?1z12 +?2z22 +?3z32 = bzi + d,Q正交,,Q正交且|Q|=1右手系→右手系,一般形式 f(x1, x2, x3) =

15、xTAx + BTx + c = 0,實(shí)對(duì)稱陣的正交相似對(duì)角化問題 ? ?Q正交, s.t., Q?1AQ=QTAQ=? =diag(?1,…,?n),p=3,q=0,r(g)=3, b=0,橢球面,球面,p=2, q=1,d>0,p=0,q=3,d<0,單葉雙曲面,d>0,d<0,雙葉雙曲面,d=0,二次錐面,r(g)=2, b?0,d=0,p=2, q=0,橢圓拋物面,p=1, q=1,雙曲拋物面,r(g)

16、=2, b=0,d?0,p=2, q=0,橢圓柱面,p=1, q=1,雙曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,拋物柱面,?,,向量,向 量,線性 運(yùn)算,度量,內(nèi)積,線性 映射,向量,向量組,矩陣,線性方程組,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),向量空間,??V? Rn,對(duì)加法數(shù)乘封閉,Rn本身,{e1, e2, …, en},n,零空間{?},無,0,齊次線性方程組的解空間{x?Rn|Ax = ?, A?Rm

17、?n},Ax = ? 的基礎(chǔ)解系,n ?r(A),生成子空間L(?1, …,?s) = {k1?1+…+ ks?s|k1,…,ks?R},?1, …, ?s的極大無關(guān)組,?1, …, ?s的秩,A的秩,A的列向量組的極大無關(guān)組,矩陣A的列空間, 即L(A1,A2,…, An),n ?r(A),Ax = ? 的基礎(chǔ)解系,A的秩,A的列向量組的極大無關(guān)組,A的核空間或零空間K(A)={x?Rn|Ax=? },A的值域R(A)={Ax

18、|x?Rn}=L(A1,A2,…, An),,,?x1?1+x2?2+…+xs?s= ?只在x1=x2=…=xs=0時(shí)成立.,?(?1,…,?s)x=? 只有零解.,? (?1,…,?s)x=Ax=? 有非零解,向量組?1,…,?s-1,?s線性相關(guān),向量組?1,…,?s-1,?s 線性無關(guān),? r(A) < s,? r(A) = s =向量個(gè)數(shù),? ? 某個(gè)向量?i可由其余的向量線性表示.,共線共面的推廣,唯一表示定理: I l

19、.i.,{I,?}l.d.??可由I 唯一線性表示.,Th4.3 大向量組由小向量組線性表示?大向量組l.d.,Th4.5. 若I可由II線性表示, 則秩(I)?秩(II); 且這兩個(gè)向量組等價(jià) ? 秩(I)=秩(II).,反之不成立,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),其中?1, …, ?s是維數(shù)相同的列向量(?1, ?2, …, ?s也是維數(shù) 相同的列向量), 則?1, …, ?s也是線性相關(guān)的.,一些常用

20、的結(jié)論,(1) 含有零向量的向量組一定線性相關(guān).,(2) 單個(gè)向量? 構(gòu)成的向量組線性相關(guān)? ? = ?.,(3) 兩個(gè)向量?, ?線性相關(guān)? ?與?的分量成比例.,(4) 若?1, …, ?s線性相關(guān), 則?1, …, ?s, ?s+1, …, ?t也線性相關(guān).,若?1, …, ?s, ?s+1, …, ?t線性無關(guān), 則?1, …, ?s也線性無關(guān).,(5) 任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),則I0與I等價(jià).,

21、(7) 向量組?1, …, ?s (s?2) 線性相關(guān)的充分必要條件是:,其中至少有某一個(gè)向量可由其余的向量線性表示.,(8) 若向量組?1, …, ?s線性無關(guān), 而?1, …, ?s, ?線性相關(guān),,則? 一定能由?1, …, ?s線性表示, 且表示的方式是唯一的.,(9) 若向量組I: ?1, …, ?s可由向量組II: ?1, …, ?t 線性表示,,并且s > t, 則向量組I是線性相關(guān)的.,(10) 若?1, …, ?

22、s線性無關(guān), 且可由?1, …, ?t線性表示, 則s ? t.,(11) 若向量組?1, …, ?s和?1, …, ?t都線性無關(guān), 并且這兩個(gè),向量組等價(jià), 則s = t.,(12) 設(shè)I0: ?1, …, ?r是向量組I: ?1, …, ?s的一個(gè)極大無關(guān)組,,一些常用的結(jié)論,,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),這兩個(gè)向量組的秩都是2, 但它們不等價(jià). 事實(shí)上, I中的,不能由II線性表示. ),例如:,一些常用

23、的結(jié)論,(13) 若向量組I: ?1, …, ?s可由向量組II: ?1, …, ?t線性表示,,則秩(I)?秩(II);,若這兩個(gè)向量組等價(jià), 則秩(I) = 秩(II).,(注: 一般情況下, 兩個(gè)向量組的秩相等時(shí), 它們未必等價(jià)!,,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),向量的數(shù)量積、向量積和混合積,||??? ||=||?|| ||? ||sin? =S□,正定性,線性性,Schwartz不等式,反對(duì)稱性 ???

24、 = ????,? · ? =0 ?? ⊥?,?×? =? ?? //?,·? = a1b1+a2b2+a3b3,(?, ?, ?) = (???)·?=V(平行六面體),,輪換對(duì)稱性,(1),(2),(5),(?, ?, ?) =0 ?共面????⊥?,第三章 幾何空間,§3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點(diǎn)法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,

25、二. 空間直線的方程,2. 標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱)方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關(guān)的一些問題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三個(gè)向量共面,重要信息:,,,,?1(A1x+B1y+C1z+D1)+?2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第三章 幾何空間,?,,平面方程,向量的內(nèi)積,過原點(diǎn): Ax+By+Cz = 0,平面方程,向量的混合積,?//x軸: By + Cz + D = 0,?//y軸:

26、Ax + Cz + D = 0,?//z軸: Ax +By + D = 0,? ? x軸: Ax + D = 0,? ? y軸: By + D = 0,? ? z軸: Cz + D = 0,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),?,,直線方程,向量的叉積,直線方程,兩平面相交,,,《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn),?,,位置關(guān)系,點(diǎn),線,面的位置關(guān)系,兩直線之間的夾角 (方向向量的夾角),點(diǎn)到直線:,點(diǎn)到平面:,異面直線:,兩平面之間的夾角 (法向量的