近代數(shù)學(xué)的興起 (2)

1、第四章 近代數(shù)學(xué)的興起,一、中世紀(jì)的歐洲二、向近代數(shù)學(xué)的過(guò)渡 1、代數(shù)學(xué) 2、三角學(xué) 3、從透視學(xué)到攝影學(xué) 4、計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)三、解析幾何的誕生,? 公元5～11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期，天主教會(huì)成為歐洲社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力。封建宗教統(tǒng)治，使一般人篤信天國(guó)，追求來(lái)世，從而淡漠世俗生活，對(duì)自然不感興趣．教會(huì)宣揚(yáng)天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對(duì)權(quán)威，導(dǎo)致了理性的壓抑，歐洲文明在整個(gè)中世紀(jì)處于凝滯狀態(tài)。 ? 由

2、于羅馬人偏重于實(shí)用而沒(méi)有發(fā)展抽象數(shù)學(xué)，這對(duì)羅馬帝國(guó)崩潰后的歐洲數(shù)學(xué)也有一定的影響，終使黑暗時(shí)代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無(wú)成就。,一、中世紀(jì)的歐洲,? 不過(guò)因宗教教育的需要，也出現(xiàn)一些水平低下的算術(shù)和幾何教材．羅馬人博埃齊（約480—524）根據(jù)希臘材料用拉丁文選編了《幾何》、《算術(shù)》等教科書，《幾何》內(nèi)容僅包含《幾何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡(jiǎn)單的測(cè)量術(shù)；《算術(shù)》則是根據(jù)400年前尼科馬科斯的一本淺易的著作編寫的。,一、中

3、世紀(jì)的歐洲,? 這樣簡(jiǎn)單的書籍竟然一直成為歐洲教會(huì)學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)課本。此外，這一時(shí)期還有英國(guó)的比德（674-735）和后來(lái)成為數(shù)皇的法國(guó)人熱爾拜爾（約950～1003，第一個(gè)在西班牙穆斯林學(xué)校學(xué)習(xí)的基督教徒）等人也討論過(guò)數(shù)學(xué)，前者研究過(guò)算術(shù)中的指算，據(jù)說(shuō)后者可能把印度—阿拉伯?dāng)?shù)字帶入歐洲。,一、中世紀(jì)的歐洲,? 直到12世紀(jì)，由于受翻譯、傳播阿拉伯和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學(xué)才開(kāi)始出現(xiàn)復(fù)蘇的跡象。1100年左右，歐洲人通過(guò)貿(mào)易和旅游，同地中海

4、地區(qū)和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國(guó)的拜占庭人發(fā)生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進(jìn)入了阿拉伯世界。? 從此，歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希臘以及東方古典學(xué)術(shù)。古典學(xué)術(shù)的發(fā)現(xiàn)激起了他們極大的興趣；對(duì)這些學(xué)術(shù)著作的搜求、翻譯和研究，最終導(dǎo)致了文藝復(fù)興時(shí)期歐洲數(shù)學(xué)的高漲。,一、中世紀(jì)的歐洲,? 文藝復(fù)興的前哨意大利，由于其特殊的地理位置和貿(mào)易聯(lián)系而成為東西方文化的熔爐。? 古代學(xué)術(shù)傳播西歐的路線如圖所示。,一、中世紀(jì)的歐洲

5、,? 數(shù)學(xué)著作的翻譯主要有：英國(guó)的阿德拉特（約1120）翻譯的《原本》和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（12世紀(jì)上半葉）翻譯的巴塔尼的《天文學(xué)》；狄?jiàn)W多修斯的《球面幾何》以及其他著作；英國(guó)羅伯特翻譯的花拉子米《代數(shù)學(xué)》等。? 12世紀(jì)最偉大的翻譯家杰拉德（約1114一1187）將90多部阿拉伯文著作翻譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大成》、歐幾里得的《原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》以及阿基米德的《圓的度量》。? 12世紀(jì)是歐洲

6、數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代。,一、中世紀(jì)的歐洲,? 歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契（1170一1250）。他早年就隨其父在北非師從阿拉伯入學(xué)習(xí)算學(xué)，后又游歷地中海沿岸諸國(guó)，回意大利后寫成《算經(jīng)》（1202，亦譯作《算盤書》）。,一、中世紀(jì)的歐洲,一、中世紀(jì)的歐洲,? 這部很有名的著作主要是一些源自古代中國(guó)、印度和希臘的數(shù)學(xué)問(wèn)題的匯集，內(nèi)容涉及整數(shù)和分?jǐn)?shù)算法，開(kāi)方法，二次和三次方程以及不定方程。特別是，書中系統(tǒng)介紹了印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼

7、，對(duì)改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響。,? 1228年的《算經(jīng)）修訂版還載有如下“兔子問(wèn)題”：某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對(duì)兔子，假定每對(duì)兔子每月生一對(duì)小兔，而小兔出生后兩個(gè)月就能生育。問(wèn)從這對(duì)免子開(kāi)始，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子？,一、中世紀(jì)的歐洲,裴波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……,U n=Un-1+Un-2 (n≥3),? 《算經(jīng)》可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。

8、,一、中世紀(jì)的歐洲,? 自然現(xiàn)象中的裴波那契數(shù)：? 向日葵花瓣依兩個(gè)相反的螺旋形排列，朝一個(gè)螺旋方向生長(zhǎng)的花瓣數(shù)同朝相反螺旋方向生長(zhǎng)的花瓣數(shù)，幾乎總等于裴波那契序列中兩個(gè)相鄰的數(shù)。? 菠蘿、冬表、球花、牛眼菊和許多植物的花也有類似的情形。? 一些花的花瓣數(shù)構(gòu)成裴波那契序列中的一串?dāng)?shù)字。? 電子學(xué)專門設(shè)計(jì)的電路也能產(chǎn)生裴波那契序列。,? 歐洲數(shù)學(xué)復(fù)蘇的過(guò)程十分曲折，從12世紀(jì)到15世紀(jì)中葉，教會(huì)中的經(jīng)院哲學(xué)派

9、利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來(lái)阻抗科學(xué)的進(jìn)步。特別是他們把亞里士多德、托勒玫的一些學(xué)說(shuō)奉為絕對(duì)正確的教條，企圖用這種新的權(quán)威主義來(lái)繼續(xù)束縛人們的思想。? 歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇，要到15、16世紀(jì)。在文藝復(fù)興的高潮中。數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起，數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強(qiáng)調(diào)。,一、中世紀(jì)的歐洲,? 達(dá)·芬奇（1452—1519）就這樣說(shuō)過(guò)：“一個(gè)人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷

10、入混亂，他永遠(yuǎn)不能平息詭辯科學(xué)中只會(huì)導(dǎo)致不斷空談的爭(zhēng)辯。因?yàn)槿藗兊奶接懖荒芊Q為科學(xué)的，除非通過(guò)數(shù)學(xué)上的說(shuō)明和論證?！? 伽利略干脆認(rèn)為宇宙“這本書是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言寫成的”?？茖W(xué)中數(shù)學(xué)化趨勢(shì)的增長(zhǎng)促使數(shù)學(xué)本身走向繁榮。以下簡(jiǎn)略介紹這一時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的重要方面。? 文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)：13世紀(jì)末，在意大利各城市興起，以后擴(kuò)展到西歐各國(guó)，于16世紀(jì)在歐州盛行的思想文化運(yùn)動(dòng)。是科學(xué)與藝術(shù)的革命時(shí)期。? 文藝復(fù)興時(shí)期在各領(lǐng)域取得很大成就 ，數(shù)學(xué)

11、成就只不過(guò)是其中之一。,一、中世紀(jì)的歐洲,,二、向近代數(shù)學(xué)的過(guò)渡 1、代數(shù)學(xué),? 歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕．主要包括三、四次方程求解與符號(hào)代數(shù)的引入這兩個(gè)方面。? 花拉子米的《代數(shù)學(xué)》被翻譯成拉丁文后，開(kāi)始在歐洲傳播，不過(guò)，直到15世紀(jì)，人們還以為三、四次方程與化圓為方問(wèn)題一樣難以解決。,? 第一個(gè)突破是波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅（1465-15

12、26）大約在1515年作出的他發(fā)現(xiàn)了形如 的三次方程的代數(shù)解法。按當(dāng)時(shí)的風(fēng)氣，學(xué)者們不公開(kāi)自己的研究成果，費(fèi)羅將自己的解法秘密傳給他的學(xué)生費(fèi)奧。? 1535年，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞（1499？—1557）也稱自己可以解形如 的三次方程。懷疑之余，費(fèi)奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對(duì)方提出的30個(gè)三次方程。,二、向近代數(shù)學(xué)的過(guò)渡,? 結(jié)果是，塔塔利亞很

13、快解出形如兩類型所有方程，而費(fèi)奧只能解出后一類方程。? 后來(lái)，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹?？柕み`背諾言在1545年出版的《大法》中公布了解法。,二、向近代數(shù)學(xué)的過(guò)渡,（p, q >0）,實(shí)質(zhì)是考慮恒等式,若選取a、b，使3ab=p，a3-b3=q，不難解得a、b。,（p, q >0）,? 《大法》所載三次方程,? 三次方程解決后不久，1540年意大利數(shù)學(xué)家達(dá)科伊向卡爾丹提出一個(gè)四次方程的問(wèn)題，卡爾丹未能解決，但由

14、其學(xué)生費(fèi)拉里（1522一1565）解決了。其解法也被卡爾丹寫進(jìn)《大法》中．? 荷蘭人吉拉德（1593—1632）于《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629）中又作了進(jìn)一步的推斷：對(duì)于n次多項(xiàng)式方程，如果把不可能的根（復(fù)數(shù)）考慮在內(nèi)，并包括重根，則應(yīng)有n個(gè)很，這就是著名的“代數(shù)基本定理”。不過(guò)，吉拉德沒(méi)有給出證明。? 卡爾丹還發(fā)現(xiàn)了三次方程的三根之和等于 項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù)，每?jī)筛朔e之和等于x項(xiàng)的系數(shù)，等等，這種根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題后來(lái)由

15、韋達(dá)、牛頓和格列高里（1638—1675）等人作出系統(tǒng)闡述,? 在法國(guó)，數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540一1603）寫了《分析引論》、《論方程的整理與修正》（1615）與《有效的數(shù)值解法》（1600）等方程論著作，其中包括給出代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項(xiàng)式分解因式解法。? 1637年，笛卡兒首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個(gè)二次方程求解．今天所說(shuō)的因式分解定理，最早由笛卡兒在其《幾何學(xué)》中提出，他說(shuō)：f（x）能為（x－a）整除，當(dāng)

16、且僅當(dāng)a是f（x）＝0的一個(gè)根．笛卡兒在《幾何學(xué)》中也末加證明地?cái)⑹隽薾次多項(xiàng)式方程應(yīng)有n個(gè)根的論斷，以及今天所謂的“笛卡兒符號(hào)法則”：多項(xiàng)式方程f（x）=0的正根的最多個(gè)數(shù)等于系數(shù)變號(hào)的次數(shù)，負(fù)根的最多個(gè)數(shù)等于兩個(gè)正號(hào)與兩個(gè)負(fù)號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)．,? 文藝復(fù)興時(shí)期有關(guān)代數(shù)方程的這些零星結(jié)果，是后來(lái)關(guān)于高次代數(shù)方程理論的一系列漫長(zhǎng)而影響深遠(yuǎn)的探索的起點(diǎn)。? 代數(shù)上的進(jìn)步還在于引用了較好的符號(hào)體系，這對(duì)于代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展以及分析學(xué)

17、的發(fā)展來(lái)說(shuō)，至關(guān)重要．正是由于符號(hào)化體系的建立，才使代數(shù)有可能成為一門科學(xué)．近現(xiàn)代數(shù)學(xué)最為明顯的標(biāo)志之一，就是普遍地使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡(jiǎn)練。,? 在《分析引論》中，他第一次有意識(shí)地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號(hào)，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量．他把符號(hào)性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，同時(shí)規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算施行于具體的數(shù)．這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問(wèn)，

18、因共抽象而應(yīng)用更為廣泛。,? 數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)化首先歸功于法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)．由于他的符號(hào)體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生重大變革．? 韋達(dá)原是律師與政治家業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)．他曾在布列塔尼議會(huì)工作，后任那瓦爾亨利親王的樞密顧問(wèn)官．他在政治上失意的1584～1589年間，獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究，曾研究過(guò)卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、史蒂文（約1548～1620）和丟番圖等人的著作，從這些著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法。,? 韋達(dá)的這種做

19、法受到后人的贊賞，并被吉拉德的《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》和奧特雷德（1575—1660）的《實(shí)用分析術(shù)》所繼承，特別是通過(guò)后者的著作使采用數(shù)學(xué)符號(hào)的風(fēng)氣流行起來(lái)．對(duì)韋達(dá)所使用的代數(shù)符號(hào)的改進(jìn)工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個(gè)（a,b,c,d…）表示已知量，后幾個(gè)（x，y，z，w，…）表示未知量，成為今天的習(xí)慣．? 韋達(dá)的符號(hào)代數(shù)保留著齊性原則，要求方程中各項(xiàng)都是“齊性”的，即體積與體積相加，面積與面積相加．這一障礙隨著笛卡兒解析幾

20、何的誕生也得到消除。,? 到17世紀(jì)末．歐洲數(shù)學(xué)家已普遍認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中刻意使用符號(hào)具有很好的功效．并且使數(shù)學(xué)問(wèn)題具有一般性．不過(guò)當(dāng)時(shí)隨意引入的符號(hào)太多，我們今天所使用的符號(hào)，實(shí)際是這些符號(hào)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期淘汰后剩下來(lái)的。,,文藝復(fù)興時(shí)期出現(xiàn)的縮寫代數(shù)符號(hào),航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展．早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，后來(lái)由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角．15、16

21、世紀(jì)德國(guó)人開(kāi)始對(duì)三角學(xué)作出新的推進(jìn)，他們從意大利獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí)．游學(xué)意大利、后來(lái)定居維也納的波伊爾巴赫（1423—1461）曾經(jīng)把托勒玫的《大成》譯成拉丁文，并且編制了十分精確的正弦表．在歐洲，第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是波伊爾巴赫的學(xué)生雷格蒙塔努斯（1436—1476）的《論各種三角形》．雷格蒙塔努斯生于德國(guó)，曾經(jīng)游歷于意大利，他搜集、譯注了托勒玫的《大成》，還翻譯過(guò)阿波羅尼奧斯、海倫、阿基米德等希胎數(shù)學(xué)家的

22、著作。1464年他撰寫了自己的著作《論各種三角形》，該書主要從納西爾·丁的著作中吸取養(yǎng)分，全書分五卷，前兩卷論平面三角，后三卷論球面三角，給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理．雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中，制定了多達(dá)5位的三角函數(shù)表，除正弦和余弦表外，還有正切表．在1450年以前，希臘、阿拉伯人著作中的三角方法很不嚴(yán)謹(jǐn)，雷格蒙塔努斯首次對(duì)三角學(xué)作出完整、獨(dú)立的闡述，使其開(kāi)始在歐洲廣泛傳播．,2、三角學(xué),隨后，維

23、爾納（1468—1528）著《論球面三角》（1514），改進(jìn)并發(fā)展了雷格蒙塔努斯的思想．不過(guò)此時(shí)的三角學(xué)存在一個(gè)最大的困難，就是缺少一批公式，使用僅知的幾個(gè)公式，計(jì)算十分困難，這主要由于雷格蒙塔努斯只采用正弦和余弦函數(shù)，而且其函數(shù)值限定為正數(shù)所致．哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯（1514—1576）將傳統(tǒng)的弧與弦的關(guān)系，改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系，并采用了六個(gè)函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），而且還編制了間隔為10”的10位和15位正弦表,

24、三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作．他在《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》（1579）和《斜截面》（1615）二書中．把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括他自己得到的正切公式：,他還給出了解球面直角三角形的方法和一套公式，以及幫助記億這些公式的今天所謂的“納皮爾法則”．這些球面三角公式大都是托勒密建立的，但也有韋達(dá)自己提出的公式，如 尤為重要的是韋達(dá)將這套三角恒等式表示成了代數(shù)形式，盡管他所用的

25、并不是現(xiàn)代符號(hào)．在16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支．,4、從透視學(xué)到射影幾何歐洲幾何學(xué)創(chuàng)造性活動(dòng)的復(fù)興晚于代數(shù)學(xué)．16世紀(jì)歐洲效學(xué)家中很多人關(guān)心阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》第8卷的恢復(fù)與整理，圓錐曲線在天文學(xué)上的應(yīng)用，促使人們需要重新審視希臘人的圓錐曲線，以及其他高等曲線．光學(xué)本是希臘人的興趣之一，也是由于天文觀測(cè)的需要，它又日益成為文藝復(fù)興時(shí)期的一個(gè)重要課題．不過(guò)文藝復(fù)興時(shí)期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力

26、卻來(lái)自藝術(shù)。,中世紀(jì)宗教繪畫具有象征性和超現(xiàn)實(shí)性．而文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界成為繪畫的重要目標(biāo)，這就使畫家們?cè)趯⑷S現(xiàn)實(shí)世界繪制到二維的畫布上時(shí)，面臨這樣一些問(wèn)題： （1）一個(gè)物體的同一投影的兩個(gè)截影有什么共同的性質(zhì)? （2）從兩個(gè)光源分別對(duì)兩個(gè)物體投影到同一個(gè)物影，那么這兩個(gè)物體有何共同的幾何性質(zhì)? 正是由于繪畫、制圖中提出的這類問(wèn)題的刺激而導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科——透視學(xué)的興起，從而誕生了射影幾何學(xué)．

27、意大利人布努雷契 （1377—1446）是第一個(gè)認(rèn)真研究透視法并試圖運(yùn)用幾何方法進(jìn)行繪畫的藝術(shù)家．?dāng)?shù)學(xué)透視法的天才阿爾貝蒂 （1404—1472）的《論繪畫》（1511）一書，則是早期數(shù)學(xué)透視法的代表作書中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數(shù)學(xué)性質(zhì)，成為射影幾何學(xué)發(fā)展的起點(diǎn)．,德沙格的另一項(xiàng)重要工作是從對(duì)合點(diǎn)問(wèn)題出發(fā)首次討論了調(diào)和點(diǎn)組的理論.德沙格利用射影原理證明了，在圓錐曲線的內(nèi)接四邊形中，任一不過(guò)頂點(diǎn)的直線與圓錐曲線以及

28、與完全四邊形對(duì)邊相交的四對(duì)點(diǎn)具有對(duì)合關(guān)系．在對(duì)合概念的基礎(chǔ)上，他引人共扼點(diǎn)與調(diào)和點(diǎn)組，認(rèn)為對(duì)合、調(diào)和點(diǎn)組關(guān)系在投影變換下具有不變性．進(jìn)一步，研究了極點(diǎn)與極帶理論．他最后利用這些理論研究阿波羅尼奧斯的圓錐曲線，將圓錐曲線的直徑視作無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極帶，通過(guò)投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線． 另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623—1662）16歲時(shí)就開(kāi)始研究投射與取景法，他曾接受德沙格的建議．把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化為

29、少數(shù)幾個(gè)基本命題，1640年完成著作《圓錐曲線論》，不久失傳，后于1779年被重新發(fā)現(xiàn)．在射影幾何方面他最突出的成就是所謂的帕斯卡定理圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線．,對(duì)早期射影幾何學(xué)有所貢獻(xiàn)的還有畫家出身的拉伊爾（P.de La.Hire,1640—1718），他在這方面的工作也是受到德沙格的影響． 德沙格等人把這種投影分析方法和所獲得的結(jié)果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在17世紀(jì)人們對(duì)二者不加區(qū)別．但我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，當(dāng)時(shí)

30、由于這一方法而誘發(fā)了一些新的思想和觀點(diǎn)： （1）一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從一個(gè)形狀連續(xù)變化到另一形狀； （2）變換與變換不變性； （3）幾何新方法——僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系，不涉及度量． 不過(guò)17世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的時(shí)尚是理解自然和控制自然，用代數(shù)方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題—般更為有效，也特別容易獲得實(shí)踐所需的定量結(jié)果．而射影幾何學(xué)家的方法是綜合的，而且得出的結(jié)果也是定性的，不那么有用．因此，射影兒何產(chǎn)生后不久，很快就讓位于

31、代數(shù)、解析幾何和微積分，終由這些學(xué)科進(jìn)一步發(fā)展出在近代數(shù)學(xué)中占中心地位的其他學(xué)科．德沙格、帕斯卡、拉伊爾等人的工作與結(jié)果也漸被人們所遺忘，遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)．,計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù) 16世紀(jì)前半葉，歐洲人像印度人和阿拉伯人一樣，把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位．這是因?yàn)榭茖W(xué)成果在工程技術(shù)上的應(yīng)用以及實(shí)踐上的需要，要求得出數(shù)量上的結(jié)果；地理探險(xiǎn)與海洋貿(mào)易需要更為準(zhǔn)確的天文知識(shí)；以精確觀測(cè)為基礎(chǔ)的新天文學(xué)需要精密的天文數(shù)表，特別

32、是三角函數(shù)表；日益發(fā)展起來(lái)的銀行業(yè)務(wù)和商務(wù)活動(dòng)也需要更好的計(jì)算技術(shù)，所有這些都對(duì)計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)提出了前所未有的要求．1585年荷蘭數(shù)學(xué)家史蒂文發(fā)表的《十進(jìn)算術(shù)》（La Disme）系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù)，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進(jìn)制．這種十進(jìn)制的采用又為計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)準(zhǔn)備了必要條件． 這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計(jì)算的強(qiáng)烈需要．為簡(jiǎn)化

33、天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法．這種設(shè)想受到人們熟知的三角公式,蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾（L.Napier,1550—1617）正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對(duì)數(shù)方法的.1614年他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書》的小書中，闡述了他的對(duì)數(shù)方法． 瑞士?jī)x器工匠比爾吉（J．Burgi，1552—1632）1600年也獨(dú)立地發(fā)明了對(duì)數(shù)方法以簡(jiǎn)化天文計(jì)算．他的出發(fā)點(diǎn)是斯蒂弗爾的級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)思想,

34、屬于算術(shù)性質(zhì)而略異于納皮爾的做法．不過(guò)他的發(fā)明遲至1620年才得到發(fā)表。對(duì)數(shù)的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲，所以拉普拉斯曾資譽(yù)道：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”．可以說(shuō)，到16世紀(jì)末、17世紀(jì)初，整個(gè),初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型．文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路．3解析幾何的涎生 近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說(shuō)是變量數(shù)學(xué)．文藝復(fù)興以來(lái)資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對(duì)科學(xué)技術(shù)

35、提出了全新的要求：機(jī)械的普遍使用引起了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達(dá)，而測(cè)定船舶位置問(wèn)題要求推確地研究天體運(yùn)行的規(guī)律；武器的改進(jìn)刺激了彈道問(wèn)題的探討，等等，總之，到了16世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題．這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的涎生． 變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明．解析幾何的基本思想是在平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念，并借助這種坐標(biāo)在乎面上的

36、點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．每一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y）都對(duì)應(yīng)于平面上的一個(gè)點(diǎn)；反之，每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于它的坐標(biāo)（x，y）．以這種方式可以將一個(gè)代數(shù)方程f（x，y）＝o與平面上一條曲線對(duì)應(yīng)起來(lái)，于是幾何問(wèn)題便可歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，并反過(guò)來(lái)通過(guò)代數(shù)問(wèn)題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果．,借助坐標(biāo)來(lái)確定點(diǎn)的位置的思想古代曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)，古希臘的阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)，阿拉伯人通過(guò)圓錐曲線交點(diǎn)求解三次方程的研究，都蘊(yùn)涵著這種思想．解析幾何

37、最重要的前驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷斯姆（1323？—1382），他在《論形態(tài)幅度》這部著作中提出的形態(tài)幅度原理（或稱圖線原理），甚至已接觸到函數(shù)的圖象表示，在這里，奧雷斯姆借用了“經(jīng)度”、“緯度”這兩個(gè)地理學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述他的圖線，相當(dāng)于橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．不過(guò)他的圖線概念是模糊的，至多是一種圖表，還未形成清晰的坐標(biāo)與函數(shù)圖象的概念． 解析幾何的真正發(fā)明還要?dú)w功于法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596—1650）與費(fèi)馬（1601—1665）．他們

38、工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但卻殊途同歸． 有了坐標(biāo)系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸選擇無(wú)關(guān)；坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡(jiǎn)單；利用曲線的方程表示來(lái)求兩條不同曲線的交點(diǎn)；曲線的分類等等．,《幾何學(xué)》作為笛卡兒哲學(xué)著作《方法論》的附錄，意味著他的幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至其他方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導(dǎo)下獲得的．笛卡兒方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他在另一部較早的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》中稱自己

39、設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”，并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路．在這里，笛卡兒提出了一種大膽的計(jì)劃，即： 任何問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題 代數(shù)問(wèn)題 方程求解．為了實(shí)施這一計(jì)劃，笛卡兒首先通過(guò)“廣延” （他對(duì)有形物廣延的一種推廣）的比較，將一切度量問(wèn)題化為代數(shù)方程問(wèn)題，為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號(hào)系統(tǒng)及其算術(shù)運(yùn)算，特別是要給出算術(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)．這就是笛卡兒幾何學(xué)的方法論背景．

40、 當(dāng)然，笛卡兒的方法論著作并沒(méi)有告訴人們，在將一切問(wèn)題化歸為代數(shù)方程問(wèn)題后將如何繼續(xù)，這正是《幾何學(xué)》需要完成的任務(wù)．《幾何學(xué)》開(kāi)宗明義，在任意選取單位線段（廣延單位）的基礎(chǔ)上定義了線段的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算．,笛卡兒依下列次序?qū)@一問(wèn)題進(jìn)行分類解答： （1）一、二次方程 （2）三、四次方程 （3）五、六次方程笛卡兒《幾何學(xué)》的整個(gè)思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭，在這里表現(xiàn)出笛卡兒向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇

41、氣．笛卡兒在《方法論》中尖銳地批判了經(jīng)院哲學(xué)特別是被奉為教條的亞里士多德“三段論”法則，認(rèn)為三段論法則“只是在交流已經(jīng)知道的事情時(shí)才有用，卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情“．他認(rèn)為“古人的幾何學(xué)”所思考的只限于形相，而近代的代數(shù)學(xué)則“太受法則和公式的束縛”，因此他主張“采取幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中一切最好的東西，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短．”這種懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新的精神，反映了文藝復(fù)興時(shí)期的時(shí)代特征．笛卡兒的哲學(xué)名言是：“我思故我在”。 笛卡兒出

42、生于法國(guó)都倫的拉哈耶，貴族家庭的后裔，父親是一個(gè)律師．他早年受教于拉福累歇的耶酥會(huì)學(xué)校．1612年赴巴黎從事研究 ，曾于1617年和1619年兩次,從軍，離開(kāi)軍營(yíng)后，旅行于歐洲，他的學(xué)術(shù)研究是在軍旅和旅行中作出的。 關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個(gè)傳說(shuō)．一個(gè)傳說(shuō)講，笛卡兒終身保持著在耶穌會(huì)學(xué)校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習(xí)慣，他在一次“晨思”時(shí)，看見(jiàn)一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個(gè)墻壁的距離之間的關(guān)系．就

43、能描述它的路線，這使他頭腦中產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的最初閃念．另一個(gè)傳說(shuō)是，1619年冬天，笛卡兒隨軍隊(duì)駐扎在多淄河畔的一個(gè)村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月l0日），他做了三個(gè)連貫的夢(mèng)．笛卡兒后來(lái)說(shuō)正是這三個(gè)夢(mèng)向他揭示了“一門奇特的科學(xué)”和“一項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)”，雖然他從未明說(shuō)過(guò)這門奇待的科學(xué)和這項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)是什么，但這三個(gè)夢(mèng)從此成為后來(lái)每本介紹解析幾何的涎生的著作必提的佳話，它給解析幾何的誕生蒙上了一層神秘色彩．人們?cè)诳嘈乃妓髦蟮乃瘔?mèng)中獲得靈

44、感與啟示不是不可能的．但事實(shí)上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考，運(yùn)用科學(xué)的方法．同時(shí)批判地繼承前人的成就的結(jié)果． 與笛卡兒不同，費(fèi)馬工作的出發(fā)點(diǎn)是竭力恢復(fù)失傳的阿,波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，他為此而寫了一本題為《論平面和立體的軌跡引論》（1629）的書．書中清晰地闡述了費(fèi)馬的解析幾何原理，指出：“只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知量，我們就有一條軌跡，這兩個(gè)量之一的末端描繪出一條直線或曲線．直線只有一種，曲線