線性代數(shù)1.1-1.2

1、第一章,行列式,§1.1 二階與三階行列式,一、二元線性方程組與二階行列式二、三階行列式三、小結(jié),一、二元線性方程組與二階行列式,線性方程組 指的是由數(shù)個(gè)一次方程所構(gòu)成的方程組。 例n 元線性方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)共有 n 個(gè)的線性方程組。,消元法解二元線性方程組 例,1,2,1,× (– 6),2,× 4,,,消元法解二元線性方程組 - 續(xù),1,2,1,× 5,2,

2、× 3,,,消元法解二元線性方程組 - 一般情形,消元法解二元線性方程組 - 一般情形,1,2,1,× a22,2,× a12,,,( 若 a11 a22 – a21 a12不為零 ),？,消元法解二元線性方程組 - 一般情形 – 續(xù),1,2,1,× a21,2,× a11,,,,( 若 a11 a22 – a21a12不為零 ),整理,若 a11 a22 – a21

3、a12不為零，方程組有唯一解,,,分母部分由原方程組的四個(gè)系數(shù)決定,定義 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱(chēng)行、豎排 稱(chēng)列）的數(shù)表表達(dá)式 a11a22 – a12a21 稱(chēng)為此數(shù)表所確定的二階行列式，并記作,即,例,,,主對(duì)角線,副對(duì)角線,對(duì)角線法則,二階行列式的計(jì)算,,若記,對(duì)于二元線性方程組,D 稱(chēng)為此線性方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式,,= a11a22,– a12a21,,,,,,,,,除了系數(shù)行列式，我們?cè)倏紤]以下兩

4、個(gè)特別的行列式 D1 以及 D2 .,回顧,若 a11 a22 – a21a12不為零，方程組有唯一解,,,,,,,,可得到: 以下二元線性方程組,若其系數(shù)行列式 D 不為零，方程組有 唯一解,,解,例 求解二元線性方程組,二、三階行列式,定義 設(shè)有 9 個(gè)數(shù)排成 3 行 3 列的數(shù)表,記,(6) 式稱(chēng)為數(shù)表 (5) 所確定的三階行列式。,…………( 5 ),…………( 6 ),符號(hào)規(guī)則,,,,,,,,,,,元素（元）,符號(hào)規(guī)則

5、這門(mén)課會(huì)出現(xiàn)的矩形數(shù)表，其中元素位置的標(biāo)號(hào)均按照類(lèi)似規(guī)則。,1,2,…,n,例 如以下 n 行 m 列的矩形數(shù)表。,行標(biāo),列標(biāo),1,2,……,m,三階行列式的計(jì)算：對(duì)角線法則,,,,,,,說(shuō)明,注意,對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式！,紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)。,=,a11a22a33,+ a12a23a31,+ a13a21a32,– a13a22a31,– a12a21a33,– a11a23

6、a32,三階行列式的計(jì)算：對(duì)角線法則,說(shuō)明,紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)。,=,a11a22a33,+ a12a23a31,+ a13a21a32,– a13a22a31,– a12a21a33,– a11a23a32,另一個(gè)記憶三階行列式對(duì)角線法則的方式,,,相同數(shù)表復(fù)制一次,,,,,,,例 2 計(jì)算三階行列式,解,按對(duì)角線法則，有,例 3 求解方程,解,方程左端,由 x2 – 5x + 6 = 0

7、解得,x = 2 或 x = 3.,D = 3x2 + 4x + 18 – 2x2 – 9x – 12,= x2 – 5x + 6,三、小結(jié),§1.2 全排列和對(duì)換,一、全排列及其逆序數(shù)二、小結(jié),一、全排列及逆序數(shù),定義,把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素的全排列（或排列）。,通常我們將 n 個(gè)不同的元素分別以 1, 2, …, n 來(lái)命名，并將其依序列出來(lái)表示一個(gè)排列。,例 以下是 5 個(gè)元素的幾個(gè)不同排列

8、 (非全部),12345,54321,34512,34215,41253,21354,15324,………,問(wèn)題,把 n 個(gè)不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？,練習(xí),試著寫(xiě)出 4 個(gè)元素的所有不同排列。,n 個(gè)不同的元素的所有排列的種類(lèi)數(shù)，通常用 Pn 表示。,解,= n !,Pn =,n,× (n – 1),× (n – 2),× ···,× 3 ×

9、 2× 1,排列的逆序,例 排列 32514 中，,我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，即排列 12 …… n。,3 2 5 1 4,定義,在一個(gè)排列 i1i2…it…is…in 中，若數(shù) it > is，則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)逆序。,排列的逆序數(shù),定義,一個(gè)中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)。,逆序數(shù)計(jì)算方法,分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼

10、個(gè)數(shù)，再求加總。,也可分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素后面比它小的數(shù)碼個(gè)數(shù)，再求加總。,例 4 求排列 32514 的逆序數(shù)。,3 2 5 1 4,故此排列的逆序數(shù)為 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5。,2 1 2 0 0,每個(gè)數(shù)字后面有幾個(gè)比該數(shù)字小,,,,,,0 1 0 3 1,每個(gè)數(shù)字前面有幾個(gè)比該數(shù)字大,,,,,,故此排列的逆序數(shù)為 2 + 1 + 2 + 0 + 0 = 5