2.1.2《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一)》

1、2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(一),復(fù)習(xí)引入,1. 橢圓的定義是什么？,復(fù)習(xí)引入,1. 橢圓的定義是什么？,2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì),以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例,(a＞b＞0)．,,講授新課,A1,講授新課,(a＞b＞0)．,1．范圍,橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)都適合不等式,B2,b,,,,,,y,O,F1,F2,x,B1,A2,-a,a,-b,,,A1,講授新課,(a＞b＞0)．,橢圓位于直線(xiàn)

2、x＝±a和y＝±b圍成的矩形里．,∴|x|≤a，|y|≤b．,1．范圍,即x2≤a2，y2≤b2，,橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)都適合不等式,B2,b,,,,,,y,O,F1,F2,x,B1,A2,-a,a,-b,,練習(xí)1：分別說(shuō)出下列橢圓方程中x，y的取值范圍,-5≤x ≤5,-3≤y ≤3,-2≤x ≤2,-4≤y ≤4,(a＞b＞0)．,2．對(duì)稱(chēng)性,,講授新課,,,,,,y,O,F1,x,F2,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

3、里，把x換成－x，或把y換成－y，或把x、y同時(shí)換成－x、－y時(shí)，方程有變化嗎？這說(shuō)明什么？,(a＞b＞0)．,2．對(duì)稱(chēng)性,,講授新課,,,,,,y,O,F1,F2,x,,,,,,關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),圖形的對(duì)稱(chēng)實(shí)質(zhì)是圖形上點(diǎn)的對(duì)稱(chēng),新課探究,二、橢圓的對(duì)稱(chēng)性,把x換成-x,方程不變,說(shuō)明橢圓關(guān)于( )軸對(duì)稱(chēng)； 把y換成-y,方程不變,說(shuō)明橢圓關(guān)于( )軸對(duì)稱(chēng)；

4、把x換成-x, y換成-y,方程還是不變, 說(shuō)明橢圓關(guān)于( )對(duì)稱(chēng)；,中心：橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心。,結(jié)論：坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心。,y,x,原點(diǎn),,,,o,x,y,,橢圓關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的．,原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心．,橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心．,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，把x換成－x，或把y換成－y，或把x、y同時(shí)換成－x、－y時(shí)，方程有變化嗎？這說(shuō)明什么？

5、,(a＞b＞0)．,2．對(duì)稱(chēng)性,,講授新課,,,,,,y,O,F1,F2,x,坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸．,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),只須令x＝0，得y＝±b，點(diǎn)B1(0,－b)、B2(0, b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，得x＝±a，點(diǎn)A1(－a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．,,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,(a＞b＞0).,,2、橢圓的頂點(diǎn),令 x=0，得 y=？，說(shuō)明橢

6、圓與 y軸的交點(diǎn)（ ）， 令 y=0，得 x=？, 說(shuō)明橢圓與 x軸的交點(diǎn)（ ）。,*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。,0, ±b,±a, 0,*長(zhǎng)軸、短軸： 線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。,a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。,焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上!,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),只須令x＝0，得y＝&

7、#177;b，點(diǎn)B1(0,－b)、B2(0, b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，得x＝±a，點(diǎn)A1(－a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．,,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,(a＞b＞0).,,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)：A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．,橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)．,只須令x＝0，得y＝

8、7;b，點(diǎn)B1(0,－b)、B2(0, b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，得x＝±a，點(diǎn)A1(－a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．,,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,,c,,b,,,,,線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢

9、圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,,c,,b,,,,,a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．,b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)．,線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,,c,,b,,,,,a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．,b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)

10、．,|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝,?,,a,線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,,c,b,,,a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．,b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)．,|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．,,a,線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于

11、2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.,A1,講授新課,3．頂點(diǎn),,,,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,,,,c,b,,,a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．,b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)．,|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．,在Rt△OB2F2中，,|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．,講授新課,由橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫(huà)圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.,小 結(jié) ：,,

12、,,根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫(huà)出下列圖形,（1）,（2）,,,,,,,,,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,,,,,,講授新課,y,,O,,,x,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,O,,,,,x,,,,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,O,,,,,,,,x,,,,,,橢圓的

13、焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,O,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,O,,,,,,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,,,,,,O,,

14、,,,,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,,講授新課,y,,,,,,,,,,,O,,,,,,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,,講授新課,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,講授新課,橢圓的

15、焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,講授新課,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,橢圓的離心率．,∵a＞c＞0，,∴0＜e＜1．,4．離心率,，叫做,嘗試成功,比較下面兩個(gè)橢圓的扁平程度,|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|),(c,0)、(?c,0),(0,c)、(0,?c),(?a,0)、(0,?b),|x|? a |y|? b,|x|? b |y|? a,關(guān)于x軸、

16、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),(?b,0)、(0,?a),講授新課,,例1 求橢圓16x2＋25y2＝400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．,例1、已知橢圓方程為16x2+25y2=400，則,它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是： ；短軸長(zhǎng)是： ；焦距是： ；離心率等于： ；焦點(diǎn)坐標(biāo)是： ；頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

17、 ； 外切矩形的面積等于： ；,10,8,6,,,,80,,求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(1) a=6, e= , 焦點(diǎn)在x軸上,(2) 離心率 e=0.8, 焦距為8,(3) 長(zhǎng)軸是短軸的2倍, 且過(guò)點(diǎn)P(2,-6),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí), 應(yīng): 先定位(焦點(diǎn)), 再定量（a、b）,當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要討論，此時(shí)有兩個(gè)解！,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是

18、短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1

19、)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,講授新課,練習(xí) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (4, 1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：,,,已知橢圓

20、 的離心率 ，求 的值,,,,由 ，得：,解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ， ，得 ．,當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ， ，得

21、 ．,,,,由 ，得 ，即 ．,∴滿(mǎn)足條件的 或 ．,思考：,練習(xí)2：過(guò)適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、 ；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 ,離心率等于 ．,解:（1）由題意， ,又∵長(zhǎng)軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為