拋物線的焦點弦-經(jīng)典性質(zhì)及其證明過程

1、1有關拋物線焦點弦問題的探討有關拋物線焦點弦問題的探討過拋物線(p0)的焦點F作一條直線L和此拋物線相交于A、B兩點pxy22?)(11yx)(22yx結(jié)論結(jié)論1：pxxAB???21pxxpxpxBFAFAB?????????2121)2()2(結(jié)論結(jié)論2：若直線：若直線L的傾斜角為的傾斜角為，則弦長，則弦長??2sin2pAB?證:(1)若時直線L的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑2???結(jié)論得證???pAB2(2)若時設直線L的

2、方程為：即代入拋物線方程得2????tan)2(pxy??2cotpyx????由韋達定理0cot222????ppyy??cot221221pyypyy????由弦長公式得???22212sin2)cot1(2cot1ppyyAB??????結(jié)論結(jié)論3：過焦點的弦中通徑長最小過焦點的弦中通徑長最小的最小值為即過焦點的弦長中通徑長最短.pp2sin21sin22???????ABp2結(jié)論結(jié)論4：)(832為定值pABSoAB??3證：因

3、為，而pypykyppyyxykoBoA2212111122221???????221pyy??所以所以三點共線。同理可征（2）（3）（4）122222oBoAkpyyppk?????結(jié)論結(jié)論10：pFBFA211??證：過A點作AR垂直X軸于點R，過B點作BS垂直X軸于點S，設準線與軸交點為Ex?的傾斜角為因為直線L則??cos1cos????????PAFAFAFPFREFERPAF?cos11???同理可得PBF?cos11???

4、pFBFA211??結(jié)論結(jié)論11：證:AABBEAEBAAFABBBFFABFEAEBAAEFBB1111111111????????EBBEAAEBB90111111???????????＝相似于EAAEBBEAA?PEQEFBEFAEF90EBBBEFEAAAEF11?????????平分角即＝＝＋＝＋?0KKXBEAEBEAEBFAFBEAE＝＋軸對稱關于和直線直線????(4)90AEBFBEFAF2????＝＝＝時，當??2p

5、xy2pxkyL22?????????將其代入方程的方程為時，設直線當????k2kpxx)yB(x)yA(x04pk2)xp(kxk2221221122222??????則設得x1x2=假設4p2122y1KKBEAE2211BEAE????????pxypx＝－則????????????????????????????????????????????2px2px2pxk2pxk2px2pxyy21212121即AEBEAFAE(1)