第1章 極限與連續(xù)

1、第1章極限與連續(xù)??1?第1章極限與連續(xù)萬丈高樓平地起，打好基礎(chǔ)最要緊——陳景潤本章導(dǎo)讀初等數(shù)學(xué)的研究對象基本上是不變的量，而高等數(shù)學(xué)則是以極限為基本工具，以變量及變量間的依賴關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系為研究對象的一門數(shù)學(xué)課程所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴關(guān)系極限是研究微積分學(xué)的重要工具，是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，微積分學(xué)中的許多重要概念，如導(dǎo)數(shù)、定積分等，均通過極限來定義因此，掌握極限的思想與方法是學(xué)好微積分學(xué)的基礎(chǔ)本章主要介紹變量、函數(shù)、

2、極限等基本概念，并引出高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用的一類重要的連續(xù)函數(shù)1.1函數(shù)1.1.1常量與變量一、常量與變量在研究實際問題時，會遇到各種各樣的量如長度、面積、體積、時間、距離、速度等這些量可分為兩種：—種是在某種過程中保待不變的量，這種量稱為常量；還有一種是在某種過程中不斷改變的量，這種量稱為變量注意：一個量是常量還是變量，要視具體情況而定例如，物體在做自由落體運動過程中，在一定高度內(nèi)重力加速度可看作常量，但超出一定高度時，重力加速度則

3、應(yīng)看作變第1章極限與連續(xù)??3?點a的?鄰域去掉中心a后，稱為a的空心?鄰域，記作(a，?)如圖1.2所示.U?即(a，?)=｛x|0｜x?a｜?｝U?圖1.1??a??axa圖1.2??a??axa1.1.2函數(shù)的概念一、函數(shù)的定義定義設(shè)有兩個非空實數(shù)集D，M，如果對于數(shù)集D中的每一個數(shù)x，按照確定的法則f，在數(shù)集M中有唯一的一個數(shù)y與之對應(yīng)，則稱y是在對應(yīng)法則f作用下關(guān)于x的在數(shù)集D上的函數(shù)記作y=f(x)，x稱為自變量，y稱為因變

4、量數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集W=｛y|y=f(x)，xD｝稱為函數(shù)的值域，顯然?WM，與x對應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值?函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)法則的記號f也可改用其他字母，例如“?”，“F”，等這時函數(shù)就記作y=?(x)，y=F(x)，等在研究同一問題時出現(xiàn)的不同函數(shù)，應(yīng)該用不同的記號如果對自變量x的某一個值x0有確定的y值f(x0)與之對應(yīng)，就說函數(shù)y=f(x)在x0有定義函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍定義域和對應(yīng)關(guān)系

5、是函數(shù)的兩個基本要素兩個函數(shù)只有定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才被認(rèn)為是相同的例如，函數(shù)，它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是相同的22sincos1yxxy???與函數(shù)又如，函數(shù)，它們的定義域不同，所以是不同的函數(shù)2111xyyxx????與＋如果自變量在定義域內(nèi)取某些數(shù)值時，對應(yīng)多個y值，就稱這個對應(yīng)規(guī)則為多值函數(shù)，而一個x有唯一的y值與之對應(yīng)的情形，又稱為單值函數(shù)以后若無特別說明，函數(shù)都是指單值函數(shù)函數(shù)可以用公式法、圖形法、表格法等