第八講 函數(shù)周期性探密

1、第1頁共3頁第八講《函數(shù)周期性探密》1基本問題1.進一步理解函數(shù)周期性的本質(zhì)，靈活運用其解決問題；2.引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)圖象的對稱性與周期性的關(guān)聯(lián)，并綜合運用函數(shù)性質(zhì)解決問題.2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.運用函數(shù)的周期性求特定函數(shù)值或特定區(qū)間上函數(shù)的解析式；2.探究有特殊軸（多軸）對稱或中心（多中心）對稱圖象的函數(shù)的周期性，并綜合運用函數(shù)性質(zhì)解決問題。3課程內(nèi)容例1解決下列問題(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x－1時，

2、f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)等于________________(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則1f?x?f(105.5)＝______.簡析；（1）原式==336??)6()6()5()4()3()2()1(336fffffff????????01336??（2）可知，故)()4(xfxf??5.

3、2)5.2()5.1()5.1()5.105(?????ffff歸納：發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)的一般線索：（1）若函數(shù)滿足，則，所以2a是函數(shù))()(xfaxf???)()()2(xfaxfaxf?????的一個周期（2）若函數(shù)滿足或，則都可以得到)(1)(xfaxf??)(1)(xfaxf???，進而可知2a是函數(shù)的一個周期.)()2(xfaxf??例2已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)

4、，則f(2015)14＝________.簡析：由已知，可得，而f(1)＝)1()1()1()(4????xfxffxf14故即（1）)1()1()(????xfxfxf)1()()1(????xfxfxf再令，可得，故.（2）01??yx)1()1()0()1(4ffff??21)0(?f由（1）（2）漸次得到41)7(21)6(41)5(41)4(21)3(41)2(?????????ffffff發(fā)現(xiàn)，故.)()6(xfxf??41

5、)5()2015(??ff第3頁共3頁解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確；當(dāng)x∈[01]時，f(x)＝2x是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，f(x)在[－10]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(12)上是減函數(shù)，在(23)上是增函數(shù)，故②正確；在區(qū)間[－11]上，f(x)的最大值為f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值為f(0)＝1，故③錯誤總

6、結(jié)規(guī)律：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和直線對稱，則函數(shù))(xfax?bx?)(ba?為周期函數(shù)，周期.（由可得）.)(xfabT??2)2()()2(xbfxfxaf????（2（若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)為周期函數(shù)，周)(xf)0(a)0(b)(ba?)(xf期.（由可得）.abT??2)2()()2(xbfxfxaf?????（3（若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)為周期函數(shù)，)(xfax?)0(b)(ba?)(xf周期.a