高中函數(shù)求值域的九種方法和例題講解

1、高中函數(shù)值域和定義域的大小是高中數(shù)學(xué)?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)本文介紹了函數(shù)求值域最常用的九種方法和例題講解.一觀察法一觀察法通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3√(2－3x)的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3√(2－3x)≥3?！嗪瘮?shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本

2、題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域?yàn)椋海?，1，2，3，4，5｝）二反函數(shù)法二反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x1)(x2)的值域。點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x1)(x2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)（y－1）其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)故

3、函數(shù)y的值域?yàn)椋鹹∣y≠1y∈R｝。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x10x)(10x－10x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)椋鹹∣y1｝）三配方法三配方法對(duì)于閉區(qū)間[ab]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)可求出y=f(x)在區(qū)間[ab]內(nèi)的極值并與邊界值f(a).f(b)作比較求出函數(shù)的最值可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2x3)(3x

4、2x1)≤0且滿足xy=1求函數(shù)z=xy3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：∵3x2x1＞0，上述分式不等式與不等式2x2x3≤0同解，解之得－1≤x≤32，又xy=1，將y=1x代入z=xy3x中，得z=x24x(1≤x≤32)∴z=(x2)24且x∈[132]函數(shù)z在區(qū)間[132]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=1時(shí)，z=－5；當(dāng)x=32時(shí)，z=154?！嗪瘮?shù)z的值域

5、為｛z∣－5≤z≤154｝。點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開(kāi)區(qū)間，若存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x23x5的值域?yàn)椋ǎ〢（－∞，＋∞）B[－7，＋∞]C[0，＋∞）D[－5，＋∞）（答案：D）。六圖象法六圖象法通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x1∣√(x2)2的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函