解決排列組合問(wèn)題的九種方法

1、<p>　　解決排列組合問(wèn)題的九種方法</p><p>　　排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，也是求解概率問(wèn)題的基礎(chǔ)。排列組合問(wèn)題不僅內(nèi)容抽象、題型多樣，而且解法靈活，不易掌握。解答排列組合問(wèn)題時(shí)，要注意分析題型類(lèi)別，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，采取恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理問(wèn)題。下面介紹求解排列組合問(wèn)題的常用方法，供大家學(xué)習(xí)時(shí)參考。 </p><p>　　一、為數(shù)不多問(wèn)題枚舉法 </p&

2、gt;<p>　　例1設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？ </p><p>　　分析先選出球號(hào)和盒子號(hào)相同的兩個(gè)號(hào)碼，有C25種選法，再將剩余的按照球號(hào)和盒子號(hào)都不同的條件一一枚舉出來(lái)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理求解即可。 </p><p>　

3、　解從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C25種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三個(gè)球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C25=20種。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)對(duì)于某些難以理解的排列組合問(wèn)題，由于其結(jié)果數(shù)字不是很大，且不易用公

4、式進(jìn)行運(yùn)算，此時(shí)利用枚舉法（尤其是樹(shù)圖法）將其一一列舉出來(lái)，會(huì)收到意想不到的結(jié)果。 </p><p>　　二、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)討論法 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。 </p><p>　　三、特殊位置（元素）優(yōu)先法 </p><p>　　例3（2012年全國(guó)

5、大綱卷?文7）6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有（） </p><p>　　A.240種B.360種C.480種D.720種 </p><p>　　分析本題可從元素進(jìn)行分析，由于選手甲有特殊要求，所以可以先將甲的位置選定下來(lái)，再排剩余的5位選手的位置；亦可從位置進(jìn)行分析，先從除甲以外的5個(gè)人當(dāng)中選2人安排到第一個(gè)和最后一個(gè)位置，再排剩余的4個(gè)位置

6、的人選。 </p><p>　　解法1先排甲，有4種方法，剩余5人全排列有A55=120種，所以不同的演講次序有4×120=480種，故答案選C。 </p><p>　　解法2先從除甲以外的5個(gè)人當(dāng)中選2人安排到第一個(gè)和最后一個(gè)位置，共有A25=20種方法，再將剩余的4人安排到中間4個(gè)位置，共有A44=24種方法，所以共有20×24=480種方法，故答案選C。 <

7、/p><p>　　點(diǎn)評(píng)特殊位置優(yōu)先法和特殊元素優(yōu)先法是解決排列組合問(wèn)題最常用、最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。 </p><p>　　四、相鄰問(wèn)題捆綁法 </p><p>　　分析將每個(gè)家庭的三個(gè)人捆在一起看成一個(gè)整

8、體，從而9個(gè)人看成三個(gè)整體，同時(shí)考慮三個(gè)整體的排列和每個(gè)家庭內(nèi)部的排列。 </p><p>　　五、不相鄰問(wèn)題插空法 </p><p>　　例55名成人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有（） </p><p>　　A.A55?A24種B.A55?A25種 </p><p>　　C.A55?A26種D.A77-4

9、A66種 </p><p>　　分析先排5個(gè)大人，再在大人中間的4個(gè)空隙中選2個(gè)將兩個(gè)小孩安排進(jìn)去。 </p><p>　　解先排5個(gè)大人，有A55種排法；再排小孩，有A24種排法（插空法）。故有A24?A55種不同的排法，所以答案選A。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)對(duì)于互不相鄰問(wèn)題，先排不受限制的元素，再把要求不相鄰的元素插入這些元素的空間中，從而實(shí)現(xiàn)排列目標(biāo)，這種

10、方法就是插空法。它是解決元素不相鄰問(wèn)題的基本方法。 </p><p>　　六、正難則反間接法 </p><p>　　例6（2012山東省煙臺(tái)市二模）甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)相同的選法種數(shù)為_(kāi)____（用數(shù)字作答）。 </p><p>　　分析本題若從正面直接分類(lèi)較為復(fù)雜，而其反面情況較少，于是可將甲乙兩人所有的選法，減去兩人所

11、選兩門(mén)都不同的選法。 </p><p>　　解可先求出所有兩人各選修2門(mén)的種數(shù)C24C24=36，再求出兩人所選兩門(mén)都不同的種數(shù)均為C24C22=6，故至少有1門(mén)相同的選法有36-6=30種。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)從正面直接計(jì)算不復(fù)雜時(shí)就直接進(jìn)行計(jì)算，若直接計(jì)算情況較為復(fù)雜時(shí)，可以先不考慮題設(shè)條件的限制求出方法數(shù)，再減去不符合條件的方法數(shù)即可求解，這就是間接法。這種思維方法在解題中有

12、著廣泛的應(yīng)用。間接法主要適用于“至少”“至多”“并非”等類(lèi)型的排列組合問(wèn)題。 </p><p>　　七、元素相同隔板法 </p><p>　　例7有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給某校的高三7個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，則不同的分配方案共有____種。 </p><p>　　分析因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，欲將其分成7份，每份至少一個(gè)，可將它們排成一排，形成11個(gè)空隙，在中間9個(gè)空隙

13、中選出6個(gè)插入6塊隔板把它們隔開(kāi)，即可把名額分成7個(gè)部分，對(duì)應(yīng)分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法，如下圖所示。 </p><p>　　解從9個(gè)空隙中選出6個(gè)插入6塊隔板，共有C69=84種選法，故共有84種不同的分配方案。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)相同元素的分配問(wèn)題往往采取隔板法來(lái)處理。一般地，將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n

14、個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1。 </p><p>　　八、順序固定問(wèn)題作除法 </p><p>　　例8若把組成下列單詞中的每個(gè)字母作各種排列，恰好有420種排法的單詞是（） </p><p>　　A.trousersB.successC.streetD.friend </p><p>　　分析因?yàn)橄嗤淖帜钢g

15、的排列與順序無(wú)關(guān)，所以可先進(jìn)行全排，再除以定序元素的全排，就可求出各選項(xiàng)中所含字母的排法。 </p><p>　　解選項(xiàng)A中的排法為：A88A22A22=10 080種；選項(xiàng)B中排法為：A77A22A33=420種；選項(xiàng)C中排法為A66A22A22=180種；選項(xiàng)D中排法為：A77=5 040種。故答案選B。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)解決某些元素位置固定的情況的一般思路是：先不考慮元素的

16、限制，求出結(jié)果除以受限制元素的全排列數(shù)。本題中排列時(shí)相同字母之間是沒(méi)有順序的，可以看成固定順序問(wèn)題，利用這種相除法避免了分類(lèi)帶來(lái)的麻煩。 </p><p>　　九、多排問(wèn)題單排法 </p><p>　　例98人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少種不同的排法？ </p><p>　　分析原題可以轉(zhuǎn)化為8個(gè)人排成一排，其中甲乙必須排在前4個(gè)位置中

17、，而丙必須排在后4個(gè)位置中。 </p><p>　　解8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4個(gè)位置的特殊元素甲乙有A24種，再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有A14種，其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有A55種，則共有A24A14A55種。 </p><p>　　點(diǎn)評(píng)一般地，若把n個(gè)元素排成m排排列（n，m為正整數(shù)），可把每排首尾排成一排，對(duì)應(yīng)每排的特殊要求，再分段考