高中數(shù)學教程 雙曲線的幾何性質

1、分享智慧泉源智愛學習傳揚愛心喜樂Wisdom&LoveWisdom&Love第頁（共6頁）1高中數(shù)學教程雙曲線的幾何性質（1）目標：1能用對比的方法分析雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中的幾何意義；abc4能根據(jù)雙曲線的幾何性質，確定雙曲線的方程并解決簡單問題。重、難點：雙曲線的范圍、對稱性、頂點和漸近線。（一）復習：1雙曲線的定義和標準方程；2橢圓的性質；（二）新課講解

2、：以雙曲線標準方程為例進行說明。12222??byax1范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。ax??注意：從雙曲線的方程如何驗證？從標準方程可知，由此雙曲線上點的坐標都適合不等式12222??byax22221byax??122?ax即，即雙曲線在兩條直線的外側。22ax?ax?ax??2對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原12222??byax點是

3、雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。12222??byax3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點12222??byaxxy0?yax??x，他們是雙曲線的頂點。)0()0(2aAaA?12222??byax令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。0?x1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點

4、。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。2AA2aa虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。2BB2bb在作圖時，我們常常把虛軸的兩個端點畫上（為要確定漸進線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點。4漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。12222??byax在初中學習反比例函數(shù)時提到x軸y

5、軸都是它的漸近線。xky?高中三角函數(shù)，漸近線是。tanyx?)(2Zkkx?????所謂漸近，既是無限接近但永不相交。那么如何證明這個無限接近但永不相交？思考：從哪個量上反映“無限接近但永不相交”？——距離。只要證明什么？——距離趨向于0.下面證明，取第一象限內的部分進行證明。（見課本）109P求法：求已知雙曲線的漸近線方程：令右端的1為0，解出的直線方程即為雙曲線的漸近線方程。5等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙

6、曲線。定義式：ab?2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。xy??注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。分享智慧泉源智愛學習傳揚愛心喜樂Wisdom&LoveWisdom&Love第頁（共6頁）3∴所求雙曲線的方程為即。22412xy??221312xy??補充：求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。2244xy??(22)M2課題

7、：雙曲線的幾何性質（2）目標：1.鞏固雙曲線的幾何性質；2.能熟練地利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程。重、難點：幾何性質的運用。教程：（一）復習：1雙曲線的幾何性質：①范圍；②對稱性；③頂點；④漸近線；⑤離心率。2練習：①雙曲線的實軸長等于，虛軸長等于，頂點坐標為222516400xy??，焦點坐標為，漸近線方程為，離心率等于（若方程改為呢？）221625400yx??（二）新課講解：例1求證：雙曲線（）與雙曲線有共同的漸近線。222

8、2xyab???0??22221xyab??解：若，則雙曲線方程可化為，0??22221xyab????漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，bbyxxaa??????22221xyab??byxa??∴兩雙曲線漸近線相同；若，則雙曲線方程可化為，0??22221yxba??????漸近線方程為，即，aaxxybb????????byxa??又∵雙曲線的漸近線方程為，22221xyab??byxa??∴兩雙曲線漸近線相同，所以，原命題結論

9、成立。說明：與雙曲線（）有共同漸近線的所有雙曲線方程為（）221xymn??0mn?22xymn???0??【練習】與雙曲線有共同的漸近線且經過點的雙曲線方程是22143yx??(32)M?22168xy??例2求中心在原點，一條漸近線方程為，且一焦點為的雙曲線標準方程。230xy??(40)?解：（方法一）設雙曲線的標準方程為，22221(00)xyabab????∵雙曲線準線方程為23yx?∴，又∵焦點，∴23ba?(40)?4c?