高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解-第2章-極限與連續(xù)

1、習(xí)題211.觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出其極限：(1)(2)；1nnxn??2(1)nnx???(3)；(4).13(1)nnxn???211nxn??解：(1)此數(shù)列為所以。1234123423451nnxxxxxn????????lim1nnx???(2)所以原數(shù)列極限不存在。123431312(1)nnxxxxx?????????(3)12341111313333(1)234nnxxxxxn?????????????所以。lim3

2、nnx???(4)所以1234211111111114916nxxxxxn????????????lim1nnx????2.下列說(shuō)法是否正確：(1)收斂數(shù)列一定有界(2)有界數(shù)列一定收斂；(3)無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散；(4)極限大于0的數(shù)列的通項(xiàng)也一定大于0.解：(1)正確。(2)錯(cuò)誤例如數(shù)列有界，但它不收斂。??(1)n(3)正確。(4)錯(cuò)誤例如數(shù)列極限為1，極限大于零，但是小于零。21(1)nnxn?????????11x??3.用數(shù)列極

3、限的精確定義證明下列極限：(1)1(1)lim1nnnn??????(2)；222lim11nnnn??????(3)323125lim??????nnn證：(1)對(duì)于任給的正數(shù)ε，要使，只要即可，所以可1(1)111nnnxnn?????????1n??取正整數(shù).1N??因此，，，當(dāng)時(shí)，總有，所以0???1N?????????nN?1(1)1nnn??????(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D)無(wú)關(guān)條件解：由函數(shù)極限的定義

4、可知，研究當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，我們關(guān)心的是x無(wú)限趨近x0??fx0xx?時(shí)的變化趨勢(shì)，而不關(guān)心在處有無(wú)定義，大小如何。??fx??fx0xx?3.與都存在是函數(shù)在點(diǎn)x0處有極限的(A)??00fx???00fx???fx(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D)無(wú)關(guān)條件解：若函數(shù)在點(diǎn)x0處有極限則與一定都存在。??fx??00fx???00fx?4設(shè)作出的圖像；求與；判別??2100xxfxxx?????????fx??0limxfx??

5、??0limxfx??是否存在??0limxfx?解：，，故不存在。??00limlim0xxfxx????????200limlim(1)1xxfxx?????????0limxfx?5設(shè)當(dāng)時(shí)，分別求與的左、右極限，問(wèn)??xfxx???xxx??0x???fx??x?與是否存在??0limxfx???0limxx??解：由題意可知，則，，因此??1010xfxx????????00limlim11xxfx????????00limli

6、m11xxfx??????。??0lim1xfx??由題意可知，，，因此??1010xxx??????????00limlim11xxx?????????00limlim(1)1xxx?????????不存在。??0limxx??6.用極限的精確定義證明下列極限：(1)1lim11xxx??????(2)；211lim21xxx???(3).01limsin0xxx??證：(1)，要使，只要即可.0?????122(1)1111xfxx