高考數(shù)列專題總結(jié)(全是精華)

1、1數(shù)列專題復(fù)習(xí)（數(shù)列專題復(fù)習(xí)（0929）一、證明等差等比數(shù)列1等差數(shù)列的證明方法：等差數(shù)列的證明方法：（1）定義法：）定義法：(常數(shù)常數(shù))（2）等差中項(xiàng)法：）等差中項(xiàng)法：1nnaad???112(2)nnnaaan?????2等比數(shù)列的證明方法：等比數(shù)列的證明方法：（1）定義法：）定義法：(常數(shù)常數(shù))（2）等比中項(xiàng)法：）等比中項(xiàng)法：1nnaqa??211(2)nnnaaan????A例1.設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)

2、和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求TnnSn解：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn=na1＋n（n－1）d∴S7＝7，S15＝75，∴即21???????7510515721711dada???????571311dada解得a1＝－2，d＝1∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）nSn2121∵，∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為，2111????nSnSnnnSn21∴Tn＝n2－n4149例2

3、設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn－（2t3）Sn－1=3t（t0，n=2，3，4，…）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1a2，得a2=ttaatt32332312???又3tSn－（2t3）Sn－1=3t①3tSn－1－（2t3）Sn－2=3t②①－②得3tan－（2t3）an－1=0∴，（n=2，3，…）ttaann3321???所以an是一個首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.tt332

4、?練習(xí)：練習(xí)：已知a1=2，點(diǎn)(anan1)在函數(shù)f(x)=x22x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數(shù)列｛lg(1an)｝是等比數(shù)列；（2）設(shè)Tn=(1a1)(1a2)…(1an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；答案.(2)213nnT??2131nna???二通項(xiàng)的求法二通項(xiàng)的求法（1）利用等差等比的通項(xiàng)公式）利用等差等比的通項(xiàng)公式(2)累加法：累加法：1()nnaafn???例3已知數(shù)列滿足，，求。??na211?annaan

5、n????211na解：由條件知：111)1(1121?????????nnnnnnaann分別令，代入上式得個等式累加之，即)1(321????????nn)1(?n)()()()(1342312???????????????nnaaaaaaaa所以)111()4131()3121()211(nn????????????????naan111???，211?a?nnan1231121??????（3）構(gòu)造等差或等比）構(gòu)造等差或等比或1

6、nnapaq???1()nnapafn???例4已知數(shù)列滿足??na11121().nnaaanN?????求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??na解：121()nnaanN?????112(1)nnaa?????是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。??1na??112a??12.nna???即21().nnanN???例5已知數(shù)列中，，求.??na11a?1111()22nnnaa????na解：在兩邊乘以得：1111()22nnnaa????12?n

7、112(2)1nnnnaa??????令，則解之得：所以.2nnnba??11nnbb???111nbbnn?????122nnnnbna???3解：由已知，得，用此式減去已知式，得nnnnaanaaaa????????????13211)1(32當(dāng)時，，即，又，2?nnnnnaaa???1nnana)1(1???112??aa，將以上n個式子相乘，得naaaaaaaaann??????????1342312143112!nan?)2(

8、?n（6）倒數(shù)變形：）倒數(shù)變形：兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。1nnnaapaq???qpaann???1例8：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。113111??????aaaannn解：取倒數(shù)：11113131????????nnnnaaaa是等差數(shù)列，???????na13)1(111????naan3)1(1????n231???nan練習(xí)練習(xí)：已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝32n1n13nan2nN2an1??

9、?－－（，）＋－求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；解：將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)為nnan11n113a－－（－）nna1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n?1）11a1313nnan13nnn331?－三數(shù)列求和三數(shù)列求和1、等差數(shù)列求和公式：、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11?????2、等比數(shù)列求和公式：、等比數(shù)列求和公式：?????????????)1(11)1()1(111q

10、qqaaqqaqnaSnnn3、錯位相減法求和、錯位相減法求和an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.1122nnnSababab?????例9求和：132)12(7531???????????nnxnxxxS解：由題可知，設(shè)………………………①132)12(7531???????????nnxnxxxS…②（設(shè)制錯位）nnxnxxxxxS)12(7531432??????????①－②得（錯位相減）nnnxnxxx

11、xxSx)12(222221)1(1432??????????????再利用等比數(shù)列的求和公式得：。nnnxnxxxSx)12(1121)1(1?????????∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn????????練習(xí)：練習(xí)：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.??????2226242232nn解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積nn22n21設(shè)…………………………………①nnnS2226242232?????

12、???…………②①－②得14322226242221?????????nnnS1432222222222222)211(????????????nnnnS1122212?????nnn∴1224????nnnS4、倒序相加法求和、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.)(1naa?5、分組法求和、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列