特征函數(shù)

1、特征函數(shù)特征函數(shù)(概率論概率論)維基百科，自由的百科全書跳轉(zhuǎn)到：導(dǎo)航搜索在概率論中，任何隨機(jī)變量的特征函數(shù)特征函數(shù)完全定義了它的概率分布。在實(shí)直線上，它由以下公式給出，其中X是任何具有該分布的隨機(jī)變量：，其中t是一個(gè)實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，E表示期望值。用矩母函數(shù)MX（t）來表示（如果它存在），特征函數(shù)就是iX的矩母函數(shù)，或X在虛數(shù)軸上求得的矩母函數(shù)。與矩母函數(shù)不同，特征函數(shù)總是存在。如果FX是累積分布函數(shù)，那么特征函數(shù)由黎曼斯蒂爾切斯積分

2、給出：。在概率密度函數(shù)fX存在的情況下，該公式就變?yōu)椋骸Ｈ绻鸛是一個(gè)向量值隨機(jī)變量，我們便取自變量t為向量，tX為數(shù)量積。R或Rn上的每一個(gè)概率分布都有特征函數(shù)，因?yàn)槲覀兪窃谟邢逌y度的空間上對一個(gè)有界函數(shù)進(jìn)行積分，且對于每一個(gè)特征函數(shù)都正好有一個(gè)概率分布。一個(gè)對稱概率密度函數(shù)的特征函數(shù)（也就是滿足fX(x)=fX(x)）是實(shí)數(shù)，因?yàn)閺膞0所獲得的虛數(shù)部分與從x0所獲得的相互抵消。[編輯]反演定理反演定理在累積概率分布函數(shù)與特征函數(shù)之間存

3、在雙射。也就是說，兩個(gè)不同的概率分布不能有相同的特征函數(shù)。給定一個(gè)特征函數(shù)φ，可以用以下公式求得對應(yīng)的累積概率分布函數(shù)F：。一般地，這是一個(gè)廣義積分；被積分的函數(shù)可能只是條件可積而不是勒貝格可積的，也就是說，它的絕對值的積分可能是無窮大。[1][編輯]博赫納博赫納辛欽定理辛欽定理公理化定義公理化定義主條目：博赫納定理任意一個(gè)函數(shù)是對應(yīng)于某個(gè)概率律的特征函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下三個(gè)條件：1.是連續(xù)的；2.；3.是一個(gè)正定函數(shù)（注意這是一個(gè)復(fù)