數學概念的分類特征及其教學探討

1、數學概念的分類、特征及其教學探討數學概念的分類、特征及其教學探討邵光華章建躍概念教學在數學教學中具有關鍵地位，一直是數學教學研究的一個主題。當前的課改實踐中，存在忽視數學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情境化、生活化、活動化的傾向，所以，應更深入地研究概念教學，以豐富概念教學法的知識并用于實踐。一、數學概念及其分類數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更

2、是數學思維、交流的工具。一般地，數學概念來源于兩方面：一是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象；二是在已有數學理論上的邏輯建構。相應地，可以把數學概念分為兩類：一類是對現實對象或關系直接抽象而成的概念，這類概念與現實如此貼近，以致人們常常將它們與現實原型“混為一談”、融為一體，如三角形、四邊形、角、平行、相似等都有這種特性；另一類是純數學抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產物，是一種數學邏輯構造，沒有客觀實在與之對應，如方程、函數、

3、向量內積等，這類概念對建構數學理論非常重要，是數學繼續(xù)發(fā)展的邏輯源泉。二、數學概念的特征20世紀80年代，國外有人提出，數學內容可以分為過程和對象兩個側面?！斑^程”就是具備可操作性的法則、公式、原理等；“對象”則是數學中定義的結構、關系。數學概念往往兼有這樣的二重性，許多概念既表現為過程操作，又表現為對象結構。如對于“等于”概念，在數與式的運算中具有過程性，它表示由等號前的算式經運算得出等號后的結果的過程指向，在式的恒等變形中蘊涵著“往

4、下繼續(xù)算”的操作屬性；而方程中“等于”的意義則不同，它沒有過程指向性，只有結構意義，表示了等號兩邊代數式的一種關系。Sfard(1991，1994)等人的研究表明，概念的過程和對象有著緊密的依賴關系，概念的形成往往要從過程開始，然后轉變?yōu)閷ο蟮恼J知，最后共存于認知結構中。在過程階段，概念表現為一系列固定操作步驟，相對直觀，容易模仿；進入對象狀態(tài)時，概念呈現一種靜態(tài)結構關系，有利于整體把握，并可轉變?yōu)楸徊僮鞯摹皩嶓w”。我們認為，關于數學概

5、念特征的上述描述稍嫌抽象，為有利于教師把握，下面對數學概念的特征做更具體的描述。1判定特征。概念具有判定特征，指依據概念的內涵，人們便能判定某一對象是概念的正例還是反例。2性質特征。概念的定義就是對概念所指對象基本性質的概括，因而具有性質特征。上述兩個特征從另一個側面表現了“概念的二重性”，判定特征有助于厘清概念的外延，性質特征有助于認識概念的內涵。3過程性特征(運算過程或幾何操作過程)。有些概念具有過程性特征，概念的定義就反映了某種數

6、學過程或規(guī)定了操作過程。如：“分母有理化”著將分母變形為有理數(式)的操作過程；“平均數”概念隱涵著將幾個數相加再除以個數的運算操作過程；“n的階乘”蘊涵著從l連乘到n的運算操作過程；“向量的加法”概念規(guī)定了“形”(三角形法則)的操作過程；等等。4對象特征(思維的細胞，交流的語言詞)。概念是一類對象的泛指，如三角形、四邊形、復數、向量等概念都是某類對象的名稱，泛指一類對象，又如復數的模，就是與復數abi(a，b∈R)對應的結構式√（ab

7、）。5關系特征。有些概念具有關系特性，反映了對象之間的關系，如垂直、平行、相切、異面直線、集合的包含等，都反映了兩個對象的相互關系，具有關聯性、對稱性。這些概念，從靜態(tài)角度看是一種結構關系，從變化觀點看則是運動過程中的某種特殊狀態(tài)。具有主從關系的概念則反映了相對于另一概念對象而言的對象，具有相依性、滋生性，如三角形的外接圓、角的平分線、二面角的平面角等，都是在其他概念對象基礎上生成的。這些概念反映的都是特殊對象，其特殊性由明確的規(guī)定所限

8、制，這些規(guī)定也是概念內涵的一部分。6形態(tài)特征。有些概念描述了數學對象的形態(tài)，從形態(tài)上規(guī)定概念的屬性特征，如三角形、四邊形、三棱錐、四棱臺等概念都具有形態(tài)特征，它們給人留下的多是直觀形象，用于判斷時多從形態(tài)上先識別，根據形態(tài)就可大致判斷是概念的正例還是反例。一般而言，“形如……的對象叫……”這類概念都具有形態(tài)特征。三、概念的教學上述數學概念的多重性，為教學指明了方向?？偟膩碚f，教師應在分析所教概念特性的基礎上，選擇適當的素材，設計恰當的問

9、題情境，使學生在經歷概念發(fā)生發(fā)展過程中，認識概念的不同特征，通過概念的運用訓練，使學生掌握根據具體問題的需要改變認識角度、反映概念不同特征的方法，進而有效地應用概念建構原理和解決問題。(一)概念教學的目標概念教學的基本目標是讓學生理解概念，并能運用概念表達思想和解決問題。這里，理解是基礎。從認知心理學看，“理解某個東西是指把它納入一個恰當的圖式”，圖式就是一組相互聯結的概念，圖式越豐富，就越一個“樣例”，這表明例在概念學習和保持中的重要

10、性，如提起“函數”，我們頭腦中可能立即浮現一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等的具體解析式或其圖像。概念的反例提供了最有利于辨別的信息，對概念認識的深化具有非常重要的作用。反例的運用不但可使學生的概念理解更精確、準確，而且可以排除無關特征的干擾。要注意的是，反例應在學生對概念有一定理解后才使用，否則，如果在學生剛接觸概念時用反例，將有可能使錯誤概念先人為主，干擾概念的理解。在揭示概念定義后，為進一步突出概念的本質特征，防止概念誤解，

11、可利用概念的正例或反例。如對于“異面直線”概念，要通過概念的正例和反例讓學生認識到：異面直線是怎么也找不到一個平面將它們納入其中的兩條直線，而不是“在兩個不同平面上的直線”。3利用對比明晰概念。有比較才有鑒別，對同類概念進行對比，可概括共同屬性。對具有種屬關系的概念做類比，可突出被定義概念的特有屬性；對容易混淆的概念做對比，可澄清模糊認識，減少直觀理解錯誤。如對于“最值”和“極值”，通過對比可認識它們的差異，即前者有整體性而后者僅有局部

12、性，“最值”一定能取到，“極值”未必能取到。4運用變式完善概念認識。通過變式，從不同角度研究概念并給出正例，可以全面認識概念。變式是變更對象的非本質屬性特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。簡言之，變式是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化。通過變式，可使學生更好地掌握概念的本質和規(guī)律。如“等差中項”，除了認識“若a，b，c成等差數列，則稱b為a，c的等差中項”這一定義外，還必須認識變式

13、“a一b＝b一c”、“2b＝ac”，必須建立算法：a與b的等差中項是（ab）2。由于學生習慣形象思維與記憶，對較抽象的數學概念要盡量引導學生從形的角度進行再認識，以獲得概念的直觀、形象支撐，如“極值”和“最值”。值得指出的是，概念變式的運用應服務于概念理解，并要掌握好時機，只有在概念理解的深化階段運用才能收到理想效果，否則，學生不僅不能理解變式的目的，變式的復雜性反而會干擾學生的概念理解，甚至產生混亂。5概念精致。一定意義上，概念的精致

14、可理解為概念濃縮，即抓住概念的精要所在。概念的精練表達和“組塊”占據記憶空間少且易于提取。我們曾就增函數概念調查過五名非數學專業(yè)大學畢業(yè)生，結果是：一人答“當x1大于x2時，f(x1)大于f(x2)”；一人答“好像是函數值跟著大吧”；另三人的答案則是“上凸增函數類圖像”形態(tài)的手勢比畫。這表明，學習“增函數”，首先應有直觀形象(圖像)的引入，然后到語言描述，再到數學符號語言的描述。這些過程結束并理解了什么叫“增函數”后，學生會回到簡單而本

15、質的關鍵詞上，對關鍵詞的表征就是概念本質屬性的表征，這正是概念精致所要達到的高度。這也表明，在學生的認知結構中，“概念定義”是惰性的，甚至會被遺忘，起作用的是精致后的概念精要。因此，概念教學必須經歷概念精致過程，以使學生提煉出代表性特征。6注意概念的多元表征。數學概念往往有多種表征方式，如利用現實情境中的實物、模型、圖像或圖畫進行的形象表征，利用口語和書寫符號進行的符號表征，等等。不同的表征將導致不同的思維方式，概念多元表征可以促進學生

16、的多角度理解；在不同的表征系統(tǒng)中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統(tǒng)之間進行轉換訓練，可以強化學生對概念聯系性的認識；建立概念不同表征間的廣泛聯系，并學會選擇、使用與轉化各種數學表征，是有效使用概念解決復雜、綜合問題的前提。因此，使學生掌握概念的多元表征，并能在各種表征間靈活轉化，是數學概念教學的基本策略。7將概念算法化。學習概念的目的是應用；反之，應用能促進概念的深刻理解。概念的應用可分為兩類，一是用概念做判斷，二是把概念當性質用

17、。為了更好地運用概念，需要將概念算法化，即要將陳述性的概念定義轉化為程序性的算法化知識。如將“二面角的平面角”算法化：(1)角的頂點在二面角的棱上，(2)角的兩邊分別在二面角的兩個面內，(3)角的兩邊都與二面角的棱垂直。由此得作一個二面角的平面角的算法：先在二面角的棱上任取一點，再從這點出發(fā)，在二面角的兩個面內分別作與二面角的棱垂直的射線；判斷一個角是否為二面角的平面角的算法：先看頂點是否在棱上，再看角的兩邊是否分別在二面角的兩個面內，

18、最后看角的兩邊是否都與棱垂直，一項不符合，就被否定。通過上述算法化學習，二面角的平面角概念才能更好用。沒有實現陳述性概念定義的算法化是學生不能應用概念的主要原因之一。四、核心數學概念及其教學數學概念最重要的特征是它們都被嵌入在組織良好的概念體系中。數學的邏輯嚴謹性主要體現在數學概念的系統(tǒng)性上，后繼概念大多是前概念基礎上的邏輯建構，個別概念的意義總有部分來自與其他概念的相互聯系，或出自系統(tǒng)的整體特征。在一個概念體系中，有些概念處于核心位置

19、，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯系，我們稱這些概念為核心概念(keyconcept)或本源概念(rootconcept)。核心數學概念的特征，從學科角度看有：(1)在數學內部具有廣泛的聯系性；(2)對數學發(fā)展具有奠基性作用和持續(xù)影響。從數學學習角度看：(1)是一個意義豐富的認知根源，在此基礎上，通過較簡單、方便的認知擴充策略，不必進行認知重構就能得到數學認知結構的基本發(fā)展；(2)在發(fā)展更復雜的理解時仍具有重要的作用。綜上所述可知，