數(shù)學(xué)概念的分類特征及其教學(xué)探討

1、數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討邵光華章建躍概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有關(guān)鍵地位，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)主題。當(dāng)前的課改實(shí)踐中，存在忽視數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)特征，過(guò)于強(qiáng)調(diào)情境化、生活化、活動(dòng)化的傾向，所以，應(yīng)更深入地研究概念教學(xué)，以豐富概念教學(xué)法的知識(shí)并用于實(shí)踐。一、數(shù)學(xué)概念及其分類數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更

2、是數(shù)學(xué)思維、交流的工具。一般地，數(shù)學(xué)概念來(lái)源于兩方面：一是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象；二是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)。相應(yīng)地，可以把數(shù)學(xué)概念分為兩類：一類是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而成的概念，這類概念與現(xiàn)實(shí)如此貼近，以致人們常常將它們與現(xiàn)實(shí)原型“混為一談”、融為一體，如三角形、四邊形、角、平行、相似等都有這種特性；另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒(méi)有客觀實(shí)在與之對(duì)應(yīng)，如方程、函數(shù)、

3、向量?jī)?nèi)積等，這類概念對(duì)建構(gòu)數(shù)學(xué)理論非常重要，是數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展的邏輯源泉。二、數(shù)學(xué)概念的特征20世紀(jì)80年代，國(guó)外有人提出，數(shù)學(xué)內(nèi)容可以分為過(guò)程和對(duì)象兩個(gè)側(cè)面?！斑^(guò)程”就是具備可操作性的法則、公式、原理等；“對(duì)象”則是數(shù)學(xué)中定義的結(jié)構(gòu)、關(guān)系。數(shù)學(xué)概念往往兼有這樣的二重性，許多概念既表現(xiàn)為過(guò)程操作，又表現(xiàn)為對(duì)象結(jié)構(gòu)。如對(duì)于“等于”概念，在數(shù)與式的運(yùn)算中具有過(guò)程性，它表示由等號(hào)前的算式經(jīng)運(yùn)算得出等號(hào)后的結(jié)果的過(guò)程指向，在式的恒等變形中蘊(yùn)涵著“往

4、下繼續(xù)算”的操作屬性；而方程中“等于”的意義則不同，它沒(méi)有過(guò)程指向性，只有結(jié)構(gòu)意義，表示了等號(hào)兩邊代數(shù)式的一種關(guān)系。Sfard(1991，1994)等人的研究表明，概念的過(guò)程和對(duì)象有著緊密的依賴關(guān)系，概念的形成往往要從過(guò)程開(kāi)始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知，最后共存于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在過(guò)程階段，概念表現(xiàn)為一系列固定操作步驟，相對(duì)直觀，容易模仿；進(jìn)入對(duì)象狀態(tài)時(shí)，概念呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，有利于整體把握，并可轉(zhuǎn)變?yōu)楸徊僮鞯摹皩?shí)體”。我們認(rèn)為，關(guān)于數(shù)學(xué)概

5、念特征的上述描述稍嫌抽象，為有利于教師把握，下面對(duì)數(shù)學(xué)概念的特征做更具體的描述。1判定特征。概念具有判定特征，指依據(jù)概念的內(nèi)涵，人們便能判定某一對(duì)象是概念的正例還是反例。2性質(zhì)特征。概念的定義就是對(duì)概念所指對(duì)象基本性質(zhì)的概括，因而具有性質(zhì)特征。上述兩個(gè)特征從另一個(gè)側(cè)面表現(xiàn)了“概念的二重性”，判定特征有助于厘清概念的外延，性質(zhì)特征有助于認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵。3過(guò)程性特征(運(yùn)算過(guò)程或幾何操作過(guò)程)。有些概念具有過(guò)程性特征，概念的定義就反映了某種數(shù)

6、學(xué)過(guò)程或規(guī)定了操作過(guò)程。如：“分母有理化”著將分母變形為有理數(shù)(式)的操作過(guò)程；“平均數(shù)”概念隱涵著將幾個(gè)數(shù)相加再除以個(gè)數(shù)的運(yùn)算操作過(guò)程；“n的階乘”蘊(yùn)涵著從l連乘到n的運(yùn)算操作過(guò)程；“向量的加法”概念規(guī)定了“形”(三角形法則)的操作過(guò)程；等等。4對(duì)象特征(思維的細(xì)胞，交流的語(yǔ)言詞)。概念是一類對(duì)象的泛指，如三角形、四邊形、復(fù)數(shù)、向量等概念都是某類對(duì)象的名稱，泛指一類對(duì)象，又如復(fù)數(shù)的模，就是與復(fù)數(shù)abi(a，b∈R)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)式√（ab

7、）。5關(guān)系特征。有些概念具有關(guān)系特性，反映了對(duì)象之間的關(guān)系，如垂直、平行、相切、異面直線、集合的包含等，都反映了兩個(gè)對(duì)象的相互關(guān)系，具有關(guān)聯(lián)性、對(duì)稱性。這些概念，從靜態(tài)角度看是一種結(jié)構(gòu)關(guān)系，從變化觀點(diǎn)看則是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某種特殊狀態(tài)。具有主從關(guān)系的概念則反映了相對(duì)于另一概念對(duì)象而言的對(duì)象，具有相依性、滋生性，如三角形的外接圓、角的平分線、二面角的平面角等，都是在其他概念對(duì)象基礎(chǔ)上生成的。這些概念反映的都是特殊對(duì)象，其特殊性由明確的規(guī)定所限

8、制，這些規(guī)定也是概念內(nèi)涵的一部分。6形態(tài)特征。有些概念描述了數(shù)學(xué)對(duì)象的形態(tài)，從形態(tài)上規(guī)定概念的屬性特征，如三角形、四邊形、三棱錐、四棱臺(tái)等概念都具有形態(tài)特征，它們給人留下的多是直觀形象，用于判斷時(shí)多從形態(tài)上先識(shí)別，根據(jù)形態(tài)就可大致判斷是概念的正例還是反例。一般而言，“形如……的對(duì)象叫……”這類概念都具有形態(tài)特征。三、概念的教學(xué)上述數(shù)學(xué)概念的多重性，為教學(xué)指明了方向?？偟膩?lái)說(shuō)，教師應(yīng)在分析所教概念特性的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)乃夭?，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)

9、題情境，使學(xué)生在經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展過(guò)程中，認(rèn)識(shí)概念的不同特征，通過(guò)概念的運(yùn)用訓(xùn)練，使學(xué)生掌握根據(jù)具體問(wèn)題的需要改變認(rèn)識(shí)角度、反映概念不同特征的方法，進(jìn)而有效地應(yīng)用概念建構(gòu)原理和解決問(wèn)題。(一)概念教學(xué)的目標(biāo)概念教學(xué)的基本目標(biāo)是讓學(xué)生理解概念，并能運(yùn)用概念表達(dá)思想和解決問(wèn)題。這里，理解是基礎(chǔ)。從認(rèn)知心理學(xué)看，“理解某個(gè)東西是指把它納入一個(gè)恰當(dāng)?shù)膱D式”，圖式就是一組相互聯(lián)結(jié)的概念，圖式越豐富，就越一個(gè)“樣例”，這表明例在概念學(xué)習(xí)和保持中的重要

10、性，如提起“函數(shù)”，我們頭腦中可能立即浮現(xiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的具體解析式或其圖像。概念的反例提供了最有利于辨別的信息，對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化具有非常重要的作用。反例的運(yùn)用不但可使學(xué)生的概念理解更精確、準(zhǔn)確，而且可以排除無(wú)關(guān)特征的干擾。要注意的是，反例應(yīng)在學(xué)生對(duì)概念有一定理解后才使用，否則，如果在學(xué)生剛接觸概念時(shí)用反例，將有可能使錯(cuò)誤概念先人為主，干擾概念的理解。在揭示概念定義后，為進(jìn)一步突出概念的本質(zhì)特征，防止概念誤解，

11、可利用概念的正例或反例。如對(duì)于“異面直線”概念，要通過(guò)概念的正例和反例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：異面直線是怎么也找不到一個(gè)平面將它們納入其中的兩條直線，而不是“在兩個(gè)不同平面上的直線”。3利用對(duì)比明晰概念。有比較才有鑒別，對(duì)同類概念進(jìn)行對(duì)比，可概括共同屬性。對(duì)具有種屬關(guān)系的概念做類比，可突出被定義概念的特有屬性；對(duì)容易混淆的概念做對(duì)比，可澄清模糊認(rèn)識(shí)，減少直觀理解錯(cuò)誤。如對(duì)于“最值”和“極值”，通過(guò)對(duì)比可認(rèn)識(shí)它們的差異，即前者有整體性而后者僅有局部

12、性，“最值”一定能取到，“極值”未必能取到。4運(yùn)用變式完善概念認(rèn)識(shí)。通過(guò)變式，從不同角度研究概念并給出正例，可以全面認(rèn)識(shí)概念。變式是變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。簡(jiǎn)言之，變式是指事物的肯定例證在無(wú)關(guān)特征方面的變化。通過(guò)變式，可使學(xué)生更好地掌握概念的本質(zhì)和規(guī)律。如“等差中項(xiàng)”，除了認(rèn)識(shí)“若a，b，c成等差數(shù)列，則稱b為a，c的等差中項(xiàng)”這一定義外，還必須認(rèn)識(shí)變式

13、“a一b＝b一c”、“2b＝ac”，必須建立算法：a與b的等差中項(xiàng)是（ab）2。由于學(xué)生習(xí)慣形象思維與記憶，對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)概念要盡量引導(dǎo)學(xué)生從形的角度進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，以獲得概念的直觀、形象支撐，如“極值”和“最值”。值得指出的是，概念變式的運(yùn)用應(yīng)服務(wù)于概念理解，并要掌握好時(shí)機(jī)，只有在概念理解的深化階段運(yùn)用才能收到理想效果，否則，學(xué)生不僅不能理解變式的目的，變式的復(fù)雜性反而會(huì)干擾學(xué)生的概念理解，甚至產(chǎn)生混亂。5概念精致。一定意義上，概念的精致

14、可理解為概念濃縮，即抓住概念的精要所在。概念的精練表達(dá)和“組塊”占據(jù)記憶空間少且易于提取。我們?cè)驮龊瘮?shù)概念調(diào)查過(guò)五名非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)畢業(yè)生，結(jié)果是：一人答“當(dāng)x1大于x2時(shí)，f(x1)大于f(x2)”；一人答“好像是函數(shù)值跟著大吧”；另三人的答案則是“上凸增函數(shù)類圖像”形態(tài)的手勢(shì)比畫(huà)。這表明，學(xué)習(xí)“增函數(shù)”，首先應(yīng)有直觀形象(圖像)的引入，然后到語(yǔ)言描述，再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的描述。這些過(guò)程結(jié)束并理解了什么叫“增函數(shù)”后，學(xué)生會(huì)回到簡(jiǎn)單而本

15、質(zhì)的關(guān)鍵詞上，對(duì)關(guān)鍵詞的表征就是概念本質(zhì)屬性的表征，這正是概念精致所要達(dá)到的高度。這也表明，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，“概念定義”是惰性的，甚至?xí)贿z忘，起作用的是精致后的概念精要。因此，概念教學(xué)必須經(jīng)歷概念精致過(guò)程，以使學(xué)生提煉出代表性特征。6注意概念的多元表征。數(shù)學(xué)概念往往有多種表征方式，如利用現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)物、模型、圖像或圖畫(huà)進(jìn)行的形象表征，利用口語(yǔ)和書(shū)寫(xiě)符號(hào)進(jìn)行的符號(hào)表征，等等。不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式，概念多元表征可以促進(jìn)學(xué)生

16、的多角度理解；在不同的表征系統(tǒng)中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統(tǒng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)；建立概念不同表征間的廣泛聯(lián)系，并學(xué)會(huì)選擇、使用與轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征，是有效使用概念解決復(fù)雜、綜合問(wèn)題的前提。因此，使學(xué)生掌握概念的多元表征，并能在各種表征間靈活轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本策略。7將概念算法化。學(xué)習(xí)概念的目的是應(yīng)用；反之，應(yīng)用能促進(jìn)概念的深刻理解。概念的應(yīng)用可分為兩類，一是用概念做判斷，二是把概念當(dāng)性質(zhì)用

17、。為了更好地運(yùn)用概念，需要將概念算法化，即要將陳述性的概念定義轉(zhuǎn)化為程序性的算法化知識(shí)。如將“二面角的平面角”算法化：(1)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上，(2)角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，(3)角的兩邊都與二面角的棱垂直。由此得作一個(gè)二面角的平面角的算法：先在二面角的棱上任取一點(diǎn)，再?gòu)倪@點(diǎn)出發(fā)，在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作與二面角的棱垂直的射線；判斷一個(gè)角是否為二面角的平面角的算法：先看頂點(diǎn)是否在棱上，再看角的兩邊是否分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，

18、最后看角的兩邊是否都與棱垂直，一項(xiàng)不符合，就被否定。通過(guò)上述算法化學(xué)習(xí)，二面角的平面角概念才能更好用。沒(méi)有實(shí)現(xiàn)陳述性概念定義的算法化是學(xué)生不能應(yīng)用概念的主要原因之一。四、核心數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)數(shù)學(xué)概念最重要的特征是它們都被嵌入在組織良好的概念體系中。數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性上，后繼概念大多是前概念基礎(chǔ)上的邏輯建構(gòu)，個(gè)別概念的意義總有部分來(lái)自與其他概念的相互聯(lián)系，或出自系統(tǒng)的整體特征。在一個(gè)概念體系中，有些概念處于核心位置

19、，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯(lián)系，我們稱這些概念為核心概念(keyconcept)或本源概念(rootconcept)。核心數(shù)學(xué)概念的特征，從學(xué)科角度看有：(1)在數(shù)學(xué)內(nèi)部具有廣泛的聯(lián)系性；(2)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有奠基性作用和持續(xù)影響。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)角度看：(1)是一個(gè)意義豐富的認(rèn)知根源，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)較簡(jiǎn)單、方便的認(rèn)知擴(kuò)充策略，不必進(jìn)行認(rèn)知重構(gòu)就能得到數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本發(fā)展；(2)在發(fā)展更復(fù)雜的理解時(shí)仍具有重要的作用。綜上所述可知，