第6講 排列組合的綜合應(yīng)用

1、第六講第六講排列組合的綜合應(yīng)用排列組合的綜合應(yīng)用排列組合是數(shù)學(xué)中風(fēng)格獨(dú)特的一部分內(nèi)容.它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.例如：某城市電話號(hào)碼是由六位數(shù)字組成，每位可從0～9中任取一個(gè)，問該城市最多可有多少種不同的電話號(hào)碼？又如從20名運(yùn)動(dòng)員中挑選6人組成一個(gè)代表隊(duì)參加國(guó)際比賽.但運(yùn)動(dòng)員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊(duì)，問共有多少種選法？回答上述問題若不采用排列組合的方法，結(jié)論是難以想像的.（前一個(gè)問題，該城市最多可有1000000個(gè)不同電話號(hào)碼

2、.后一個(gè)問題，代表隊(duì)有20196種不同選法.）當(dāng)然排列組合的綜合應(yīng)用具有一定難度.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：首先必須準(zhǔn)確、透徹的理解加法原理、乘法原理；即排列組合的基石.其次注意兩點(diǎn)：①對(duì)問題的分析、考慮是否能歸納為排列、組合問題？若能，再判斷是屬于排列問題還是組合問題？②對(duì)題目所給的條件限制要作仔細(xì)推敲認(rèn)真分析.有時(shí)利用圖示法，可使問題簡(jiǎn)化便于正確理解與把握.例1從5幅國(guó)畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？分析

3、分析首先考慮從國(guó)畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當(dāng)從國(guó)畫、油畫各選一幅有多少種選法時(shí)，利用的乘法原理.由此可知這是一道利用兩個(gè)原理的綜合題.關(guān)鍵是正確把握原理.解：解：符合要求的選法可分三類：不妨設(shè)第一類為：國(guó)畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國(guó)畫中選1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有53＝15種選法.第二類為國(guó)畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有52＝10種選法.

4、第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有32＝6種選法.這三類是各自獨(dú)立發(fā)生互不相干進(jìn)行的.因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有15＋10＋6＝31種.注運(yùn)用兩個(gè)基本原理時(shí)要注意：①抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬不能混.不同類的方法（其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完）數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù).不同步的方法（全程分成幾個(gè)階段（步），其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段）數(shù)之間做乘法，可求得完

5、成整個(gè)事情的不同方法總數(shù).第一步：從1～9這九個(gè)數(shù)中任選一個(gè)占據(jù)千位，有9種方法.第二步：從余下的9個(gè)數(shù)（包括數(shù)字0）中任選3個(gè)占據(jù)百位、十位、個(gè)位，百位有9種.十位有8種，個(gè)位有7種方法.由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9987=4536個(gè).答：可組成4536個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).解法2：分析對(duì)于某元素只能占據(jù)某位置的排列可分步完成：第一步讓特殊元素先占位，第二步讓其余元素占位.在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數(shù)中，

6、有一類根本無0元素，另一類含有0元素，而此時(shí)0元素只能占據(jù)百、十、個(gè)三個(gè)位置之一.解：解：組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含0的四位數(shù)有9876=3024個(gè).第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個(gè)位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個(gè)位上，所以有3種）第二步讓其余9個(gè)數(shù)占位有987種占法.所以含0的四位數(shù)有3987=1512個(gè).∴由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)30241512=4536個(gè).解法3：從無條件限制的排列總數(shù)