復(fù)合函數(shù)的定義域詳細(xì)講義及練習(xí)詳細(xì)答案

1、1復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)一，復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y是u的函數(shù)，即y=f(u)u是x的函數(shù)，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過(guò)u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u)，u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[g(x)]其中u稱為中間變量。二，對(duì)高中復(fù)合函數(shù)的通解法——綜合分析法1、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫(xiě)出復(fù)合過(guò)程例1：指出下列函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。（1）y=√2x2(2)y=sin3x(3)y=si

2、n3x(4)y=3cos√1x2解：(１)y=√2x2是由y=√uu=2x2復(fù)合而成的。（2）y=sin3x是由y=sinuu=3x復(fù)合而成的。（3）∵y=sin3x=(sinx)3∴y=sin3x是由y=u3u=sinx復(fù)合而成的。（4）y=3cos√1x2是由y=3cosuu=√rr=1x2復(fù)合而成的。2、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之二是正確理解復(fù)合函數(shù)的定義?？聪吕}：例２：已知f(x3)的定義域?yàn)閇1、2]求f(2x5)的定義域。經(jīng)典誤

3、解１：解：f(x3)是由y=f(u)u=g(x)=x3復(fù)合而成的。F(2x5)是由y=f(u2)u2=g(x)=2x5復(fù)合而成的。由g(x)G(x)得：u2=2x11即：y=f(u2)u2=2x11∵f(u1)的定義域?yàn)閇1、2]∴１≤x﹤2∴9≤2x11﹤6即：y=f(u2)的定義域?yàn)閇9、6]∴f(2x5)的定義域?yàn)閇9、6]經(jīng)典誤解２：解：∵f(x3)的定義域?yàn)閇1、2]∴1≤x3﹤2∴2≤x﹤1∴4≤2x﹤2∴9≤2x5﹤7∴f

4、(2x5)的定義域?yàn)閇9、7]（下轉(zhuǎn)2頁(yè)）注：通過(guò)以上兩例誤解可得，解高中復(fù)合函數(shù)題會(huì)出錯(cuò)主要原因是對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過(guò)u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u)u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[g(x)]其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x3)的定義域理解成（x3）的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復(fù)合函數(shù)

5、的定義域是指y=f(u)u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x3)是由f(u)u=x3復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其定義域是x的取值范圍。正確解法：解:f(x3)是由y=f(u1)u1=x13(1≤x﹤2)復(fù)合而成的。f(2x5)是由y=f(u2)u2=2x25復(fù)合而成的∵１≤x1﹤2∴4≤u1﹤5∴4≤u2﹤5∴4≤2x25﹤53∴f(x)的定義域?yàn)閇1、1]結(jié)論：由此題的解答過(guò)程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出

6、f(x)的定義域。小結(jié)：通過(guò)觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關(guān)鍵在于通過(guò)u這個(gè)橋梁將x1與x2聯(lián)系起來(lái)解題。題型二：多對(duì)多：如例6：已知f(x3)的定義域?yàn)閇1、2]求f(2x5)的定義域。解析：多對(duì)多的求解是比較復(fù)雜的，但由解題型三與題型四的結(jié)論：已知f(x)的定義域可求出y=f[g(x)]的定義域”已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。若y1=f(x3)y2

7、=f(2x5)同理，已知y1=f(x3)的定義域，故這里f(x)成為了聯(lián)系y1=f(x3)y2=f(2x5)的一個(gè)橋梁，其作用與以上解題中u所充當(dāng)?shù)淖饔孟嗤?。所以，在多?duì)多的題型中，可先利用開(kāi)始給出的復(fù)合函數(shù)的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復(fù)合函數(shù)的定義域，具體步驟如下：第一步：寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程:f(x3)是由y=f(u)u=x3復(fù)合而成的。f(2x5)是由y2=f(u)u=2x5復(fù)合而成的。第二步：求橋梁f

8、(x)的定義域：∵1≤x≤2∴4≤x3≤5∴4≤u≤5設(shè)：函數(shù)y3=(u)u=x下轉(zhuǎn)4頁(yè)∴y3=f(x)的定義域?yàn)閇4、5]第三步：通過(guò)橋梁f(x)進(jìn)而求出y2=f(2x5):f(x)是由y3=f(u)u=x復(fù)合而成的∵4≤x≤5∴4≤u≤5∴4≤2x5≤5∴≤x2≤5∴f(2x5)的定義域?yàn)椋篬5]小結(jié)：實(shí)際上，此題也可以u(píng)為橋梁求出f(2x5)詳參照例2的解法。四、將以上解答過(guò)程有機(jī)轉(zhuǎn)化為高中的標(biāo)準(zhǔn)解答模式。如：例7：已知函數(shù)y=f

9、(x)的定義域?yàn)閇0、1]，求函數(shù)y=f(x21)的定義域。解：∵函數(shù)f(x21)中的x21相當(dāng)于f(x)中的x(即u=x21與u=x)∴0≤x21≤1∴1≤x2≤0∴x=0∴定義域?yàn)?小結(jié)：本題解答的實(shí)質(zhì)是以u(píng)為橋梁求解。例8：已知y=f(2x1)的定義域?yàn)閇0、1]求函數(shù)y=f(x)的定義域。解：由題意：0≤x≤1（即略去第二步，先找出定義域的真正對(duì)象）。∴1≤2x1≤1(即求出u以u(píng)為橋梁求出f(x)視2x1為一個(gè)整體（即u與u的