高中數(shù)學百大經(jīng)典例題—不等式證明

1、taoti.你的首選資源互助社區(qū)高中數(shù)學高中數(shù)學典型例題一典型例題一例1若10??x，證明)1(log)1(logxxaa???（0?a且1?a）分析分析1用作差法來證明需分為1?a和10??a兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明解法解法1（1）當1?a時，因為11110?????xx，所以)1(log)1(logxxaa???)1(log)1(logxxaa?????0)1(log2????xa（2）當10??a時，因為11110

2、?????xx所以)1(log)1(logxxaa???)1(log)1(logxxaa????0)1(log2???xa綜合（1）（2）知)1(log)1(logxxaa???分析分析2直接作差，然后用對數(shù)的性質來去絕對值符號解法解法2作差比較法因為)1(log)1(logxxaa???axaxlg)1lg(lg)1lg(??????)1lg()1lg(lg1xxa??????)1lg()1lg(lg1xxa?????0)1lg(lg

3、12????xa，所以)1(log)1(logxxaa???taoti.你的首選資源互助社區(qū)兩邊同加22222():2()()ababab????∴222()22abab???∴2224()()22abab???（2）由（1）和（2）可得444()22abab???（當且僅當ab?時取等號）說明：說明：此題參考用綜合法證明不等式綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考

4、慮用綜合法來解典型例題四典型例題四例4已知a、b、cR??，1abc???，求證1119.abc???分析分析顯然這個題用比較法是不易證出的。若把111abc??通分，則會把不等式變得較復雜而不易得到證明由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如baab?，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧證明：證明：∵1abc???∴111abc??abcabcabcabc?????

5、????(1)(1)(1)bcacabaabbcc?????????3()()()bacacbabacbc???????∵22babaabab????，同理：2caac??，2cbbc???！?1132229.abc???????說明：說明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的典型例題五典型例題五例５例５已知cba??