數(shù)學史與初中數(shù)學教學-溫州

1、汪 曉 勤華東師范大學數(shù)學系2013-05-23,數(shù)學史與初中數(shù)學教學,背 景,數(shù)學教學的現(xiàn)實學生的數(shù)學觀教師專業(yè)發(fā)展的需求學術研究的背景,數(shù)學史與 初中數(shù)學教學,數(shù)學史與 初中數(shù)學教學,數(shù)學史與 初中數(shù)學教學,數(shù)學史與初中數(shù)學教學,附加式 復制式 順應式 重構式,案例0 零的危險,● 摩訶毗羅 (Mahāvīra , 9世紀):《計算方法剛要》 (The Ganita-Sāra-Sangraha),● S

2、cripati (11世紀): Ganita-tilaka,● 婆羅摩笈多 (Brahmagupta , 598-670): 《婆羅門修正體系》 (Brahmasphuta-Siddhanta),案例0 零的危險,●婆什伽羅 (Bhāskara, 1114 – ca. 1185):《莉拉沃蒂》,●馬丁·歐姆 (Martin Ohm, 1792-1872) ：,● 德蒙維爾 (A. L. G. Demonvill

3、e, ? 19世紀),案例1 無理數(shù)無理嗎？,無理數(shù)的由來● 不合常理的數(shù)？● 沒有秩序的數(shù)？● 沒有理由的數(shù)？,案例2 平方差公式,趙 爽：負薪余日，聊觀周髀,文字語言：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積等于這兩個數(shù)的平方差。,符號語言：,變形公式：,,案例2 平方差公式,辨析：下列兩個多項式相乘，那些可以使用平方差公式，如果不能使用平方差公式，你用什么方法計算？,（2）,（1）,（4）,（3）,（5）,案例2 平方差

4、公式,例1、計算：,（2）,（1）,（4）,（3）,案例2 平方差公式,例2、用平方差公式進行簡便計算：,（2）,（1）,（3）,案例2 平方差公式,思考題：,已知兩數(shù)的和為 ，積為 ，求這兩個數(shù)。,公元3世紀，古希臘代數(shù)學鼻祖丟番圖（Diophantus）在其《算術》中運用了平方差公式?！端阈g》第1卷第27題：“已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)?！?案例2 平方差公式,通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

5、,（1）說說應用平方差公式的條件，以及注意事項。,（2）你覺得平方差公式的歷史對你的學習有幫助嗎？ 如果有幫助，主要是哪方面的？,（3）本節(jié)課你記憶最深刻的是哪個環(huán)節(jié)，為什么？,案例2 平方差公式,練習題：計算：,（2）,（1）,（4）,（3）,（5）,案例2 平方差公式,,,案例 3 第一個解分式方程的人,Nicholas Saunderson (1682-1739):代數(shù)學基礎,,案例 4 不等號的歷史,案

6、例 4 不等號的歷史,,案例 5 笛卡兒的靈感,,,案例6 古今多少事 都在勾股中,真理：她的標志是永恒 一旦愚昧的世界見到她的光芒畢達哥拉斯定理今天依然正確猶如初次被傳授給兄弟會一樣女神們以這束光芒相饋贈畢達哥拉斯回祭一份厚禮一百頭牛，烤熟切片 表達對她們的無限感激,Heinrich Heine (1797-1856),從那一天起，當它們猜測一個新的真理會被揭去面紗在那惡魔似的圍欄里，一陣陣哀

7、鳴立即爆發(fā)無力阻擋真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢達哥拉斯讓它們永不安寧它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛,●畢達哥拉斯定理,,歐幾里得的證明,新娘的坐椅,案例6 古今多少事 都在勾股中,Henry Perigal (1801-1898),案例6 古今多少事 都在勾股中,數(shù)學史與初中數(shù)學教學,附加式 復制式 順應式 重構式,案例7 一元一次方程,案例7 一元一次方程,斐波納契《計算之書》：樹的7/12部分在地下，長21尺，

8、求樹長?！毕喈斢诜匠?。,案例7 一元一次方程,《計算之書》：● 獅子在洞中，洞深50尺，獅子每天向上爬 1/7尺，向下爬1/9尺。問：獅子需要幾天才能爬出洞？● 兩只螞蟻相距100步，朝同一點同向而行。第一只螞蟻每天向前爬1/3步，又向后退1/4步；第二只螞蟻每天向前爬1/5步，又向后退1/6步。問：第一只螞蟻幾天后追上第二只螞蟻？● 狐貍在狗前面50步；狗在后面追。狗每跑9步，狐貍跑6步。問狐貍跑幾步后被狗追上？,案例7

9、一元一次方程,● 《九章算術》：“今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問幾何日滿池？”● 《計算之書》：“獅子4小時吃掉一只羊。豹子5小時，熊6小時。問：把一只羊扔給它們，幾小時可吃完？”,案例7 一元一次方程,●阿爾昆《益智問題集》一人見山上羊群，他自言自語道：“我如果有這許多羊，再加上這許多，再加上一半，再加上四分之一，再加上我家里那一只，共有100

10、只。”問：羊群有多少只羊？●前蘇聯(lián)問題空中飛過一群雁，迎面又飛來一只雁，說：“您好，你們有100只嗎？”雁隊隊長說：“不，現(xiàn)有數(shù)加上現(xiàn)有數(shù)，再加上現(xiàn)有數(shù)的一半、再加上它的四分之一，連您算在內，才是100只?！眴枺貉闳河袔字谎?？,案例 7 一元一次方程,行人啊，請稍駐足 這里埋葬著丟番圖 上帝賦予他一生

11、的六分之一 享受童年的幸福 再過十二分之一，兩頰長胡 又過了七分之一，燃起結婚的蠟燭 貴子的降生盼了五年之久 可憐那遲到的寧馨兒 只活到父親壽命的半數(shù)

12、 便進入冰冷的墳墓 悲傷只有通過數(shù)學來消除 四年后，他自己也走完了人生旅途,案例7 一元一次方程,●《計算之書》一人經過7座大門進入樂園，摘蘋果若干。當他離開果園時，他把一半蘋果加上１個蘋果給了第一個門衛(wèi)；把剩下的一半加上一個給了第二個門衛(wèi)；類似地，依次把剩下的蘋果分給其他五個門衛(wèi)。當他離開果園時，只剩下了

13、1個蘋果。問：此人在樂園摘了多少個蘋果？,案例 8 二元一次方程組,“雞兔同籠”：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞、兔各幾何？● 你能用一元一次方程 來解這個問題嗎？● 若把雞和兔的只數(shù)分 別表示成x 和y，則如 何列方程？,案例 8 二元一次方程組,高彥休《唐闕史》 一位行人傍晚經過一個樹林，忽聽得林間有人在說話，細聽方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽得竊賊說：“每人

14、6匹，則多出5匹；每人7匹，則又少了8匹。”問：共有幾個竊賊，幾匹贓物？,程大位《算法統(tǒng)宗》 昨日獨看瓜，因事來家。牧童盜去眼昏花。信步廟東墻外過，聽得爭差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借問人瓜各有幾？已會先答。,案例 8 二元一次方程組,案例 8 二元一次方程組,有盜布者，聚于橋下分贓。恰有過橋者，聽得爭論：每人12 匹，余12 匹；每人14 匹，不足 6 匹。問盜賊幾人、盜布幾匹？（日本：《塵劫記》）,騾子和驢馱著酒

15、囊行走在路上。為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著。聽到驢的怨言，騾子給她出了這樣一道題：“媽媽，你為何眼淚汪汪，滿腹牢騷，抱怨的應該是我才對呀！因為，如果你給我一袋酒，我負的重量就是你的2倍；若你從我這兒拿去一袋，則你我所負重量剛好相等。”好心的先生，數(shù)學大師，請告訴我，他們所負酒囊各有幾袋？（歐幾里得，前3世紀）,案例 8 二元一次方程組,油畫《雅典學派》中的歐幾里得(梵蒂岡,1986）,為了鼓勵兒子學好算術，兒子每做對一道題，父

16、親給他8分錢；做錯一道題，罰5分錢。做完26道題后，誰也不用給誰錢。問：兒子做對了幾道題？（克拉維斯《代數(shù)》）,案例 8 二元一次方程組,埃及的金字塔,法國的盧浮宮入口設計師：貝聿銘（華裔）,案例 9 等腰三角形的性質,等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。,等腰三角形的相關名稱：,腰,腰,底 邊,頂角,底角,底角,除了AB=AC，還有其它相等的量嗎？,案例 9 等腰三角形的性質,等腰三角形的性質：,等腰三角形是軸對稱圖形，對稱

17、軸是頂角平分線所在的直線。,等腰三角形的兩個底角相等。（簡稱：等邊對等角）,符號語言： ∵△ABC中，AB=AC （已知） ∴∠B=∠C （等邊對等角）,案例 9 等腰三角形的性質,歐幾里得:古希臘數(shù)學家，“幾何之父”,《幾何原本》是歐洲數(shù)學的基礎，被認為是最成功的教科書。,案例 9 等腰三角形的性質,如圖：已知△ABC中，AB=AC，說明∠ABC= ∠ACB 的理由。,案例 9 等腰三角形的性質,現(xiàn)代的桁架橋,

18、現(xiàn)代的桁架橋,老城區(qū)里櫻桃園的桁架式建筑,德國傳統(tǒng)的木構桁架建筑,英國福斯灣橋鋼懸臂桁架梁,任務單一：有關“等邊對等角”的練習1、已知△ABC中，AB=AC，∠B=70°， 則∠C=____ ,∠A=_____。2、已知△ABC中，AB=AC，一個內角為70°， 則底角為_______。3、已知△ABC中，AB=AC，一個外角為70°， 則底角為_______。4、已知△

19、ABC為等腰三角形，∠B=70°， 則∠A=____________。5、已知△ABC為等腰三角形，∠B=100°， 則∠A=____________。,案例 9 等腰三角形的性質,根據(jù)上面疊合法的說理，線段AD擔任了什么角色？,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。,簡稱：等腰三角形的三線合一,案例 9 等腰三角形的性質,“等腰三角形的三線合一”性質用符號表述：（1）等

20、腰三角形的頂角平分線平分底邊 并且垂直于底邊。 △ABC中，如果AB=AC，∠1=∠2， 那么，_____=_____,且_______.（2）等腰三角形底邊上的中線 垂直于底邊，并且平分頂角。 △ABC中，如果AB=AC，________， 那么，_____,且_______.（3）等腰三角形底邊上的高 平分底邊和頂角。 △ABC中，如果AB=AC，_

21、_______， 那么，_____,且_______.,案例 9 等腰三角形的性質,埃及古墓中出土的測量工具形狀的護身符,,,,等腰三角形性質的應用：,案例 9 等腰三角形的性質,古代的水準儀由一個等腰三角形以及懸掛在頂點處的鉛垂線組成。測量時，調整底邊的位置，如果鉛垂線經過底邊中點，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。,案例 9 等腰三角形的性質,等腰三角形的性質在說理方面的應用：,,例1：如圖，已知AB=AC，∠BAC

22、=110°，AD是△ABC的中線，求∠1和∠2的度數(shù)。,,例2：如圖，已知AB=AC，AE=AF， AO是△AEF的邊EF上的中線， AO的延長線交BC于D. 說明AD⊥BC的理由。,案例 9 等腰三角形的性質,例3、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠CBA的平分線交AC于點D，過點C作BD的垂線于點E，CE與BA的延長線相交于點F，若CE＝5，求BD的長．,案例 9

23、 等腰三角形的性質,課堂小結：,1、你知道了等腰三角形的哪些性質？ 2、本節(jié)課的學習你還了解了哪些知識？,案例 9 等腰三角形的性質,案例 10 扇形的面積,,開普勒 (J. Kepler, 1571-1630),相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。,相似三角形對應高的比、對應中線的比和對 應角平分線的以及周長的比都等于相似比。,相似三角形的面積的比等于相似比的平方。,相似三角形的性質：,案例11 相似三角形的應用,1

24、、《九章算術》勾股章（17）： 今有邑方二百步，各開中門。出東門一十五步有木。問：出南門幾何步而見木？,案例11 相似三角形的應用,2、今有邑，東西七里，南北九里，各開中門。出東門一十五里有木。問：出南門幾何步而見木？（學生自己畫圖求解）,3、《九章算術》勾股章（19）：今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？,案例11 相似三角形的應用,4、《九章算術》勾股章（24）：今有井徑

25、五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深幾何？,案例11 相似三角形的應用,5、《九章算術》勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九十五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問：山高幾何？,案例11 相似三角形的應用,介紹九章算術與劉徽：,《九章算術》是我國流傳至今最古老的數(shù)學專著之一，它成書于西漢時期。是中國最重要的一部經典數(shù)學著作，它的完成奠定了中國古代數(shù)學發(fā)展的基礎

26、，在中國數(shù)學史上占有極為重要的地位?，F(xiàn)傳本《九章算術》共收集了246個應用問題和各種問題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。,劉徽：魏晉時期山東人，出生在公元3世紀20年代后期。是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位。他的《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數(shù)學遺產。劉徽著作的“九章算術注”，主要是給“九章算術”的術文（命題）作解釋和邏輯證明，更正其中的個別

27、錯誤公式。有了劉徽的注釋，“九章算術”才得以成為一部完美的古代數(shù)學教科書。主要貢獻：在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術"，并利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果。,案例11 相似三角形的應用,金字塔：底部是正方形，四個側面都是相同的等腰三角形,早在公元前6世紀，希臘幾何學的鼻祖泰勒斯（Thales）就是運用這個方法測量金字塔的高度的

28、。,案例11 相似三角形的應用,課后思考題：（借助于相似三角形的性質，泰勒斯還能快速測量出輪船離海岸的距離。） 在某沿海的海岸上有一座燈塔，為遇難輪船提供緊急救援工作，但人們經常為無法確切得知輪船離海岸的距離而苦惱，直到有一天泰勒斯解決了這個問題，如圖所示，你能說出他所設計的原理與方法嗎？,案例11 相似三角形的應用,案例11 相似三角形的應用,案例 12 平均數(shù),公元前428年冬，普拉提亞人被伯羅奔尼撒人包圍。不久，城

29、中糧食短缺，他們處于絕望之中。由于無望從雅典人那里獲得援助，也沒有其他安全突圍的方法，他們計劃棄城而去。他們打算做梯子翻過敵人的圍墻，希望能殺出一條血路。梯子的高度要與敵人圍墻的高度一樣，為此，可以數(shù)敵人城墻上磚塊的層數(shù)來計算城墻的高度。在相同的時間，很多人數(shù)了磚塊的層數(shù)。問：如何確定磚塊層數(shù)？,數(shù)學史與初中數(shù)學教學,附加式 復制式 順應式 重構式,案例13 用字母表示數(shù),案例13 用字母表示數(shù),三角形數(shù),,案例13 用字母

30、表示數(shù),正方形數(shù),案例13 用字母表示數(shù),,案例13 用字母表示數(shù),教師小結(1) 數(shù)學無處不在，關鍵是你有沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)學的眼睛？(2) 形和數(shù)可以互相轉化。(3) 數(shù)量關系可以用字母簡明地表示出來，用字母來表示數(shù)是數(shù)學中很重要的一個思想方法，在接下來的數(shù)學學習中我們將繼續(xù)體會字母表示數(shù)的優(yōu)越性。(4) 畢氏學派還用字母表示出了各種形數(shù)的規(guī)律，有興趣的同學可以在課下來跟老師探討。,Thales （前6世紀）,案例 14 全等

31、三角形的應用,行船測距,案例 14 全等三角形的應用,有一個故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。,案例 14 全等三角形的應用,在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法測量敵營的距離。,案例 14 全等三角形的應用,學生在課上演示泰勒斯的方法,案例 14 全等三角形的應用,學生在課上給

32、出的測量全等三角形方案,案例 14 全等三角形的應用,S1: 所有的話題都讓學生感興趣，提高了上課的效率，多年之后故事會永遠留在頭腦中。在校外上輔導班時，用類似的問題去問別的學校的同學，他們都對“全等三角形如何用”沒概念，感覺很驕傲，有種博士生的感覺，在向其他同學講授時，很津津樂道。S2: 不會影響學習成績，更不會影響學習時間。這樣的課在我們理論的基礎上多一種知識的了解，而且這個了解不是可有可無的而是有多有少的。在正課當中，無論從哪

33、個角度講解都會讓我們對知識印象更深，增加對知識的理解，當然一定要以正課為主。,案例 14 全等三角形的應用,T1：這樣的課教師和學生都很感興趣，很生動，學生的積極性完全調動起來，是數(shù)學與實際結合最好的范例。T2：最好能資源共享，多展示幾節(jié)這樣的課，讓學生更好地體會數(shù)學與生活緊密相關，讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學問題，并用學過的知識解決它。如果所有的課都能以這種形式來上，那么學生一定都會喜歡數(shù)學課!,案例15 天上人間,日晷（古埃及、巴

34、比倫、古希臘Anaximander）,案例15 天上人間,Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）,月亮半圓時刻日、地、月的位置關系,數(shù)學史與初中數(shù)學教學,附加式 復制式 順應式 重構式,愛琴海,敘拉古城,阿基米德（Archimedes, 前287-前212）,案例16 同底數(shù)冪的運算,,1后面接連寫上63個0 ，這么大的數(shù)，真要寫起來，簡直是天方夜譚！,,1后面接連寫上63個0，就是 ，它表示63

35、個10相乘,,n個a相乘也可以寫成,讀作a的n次方，其中a表示底數(shù)，正整數(shù)n表示指數(shù)，a的n次乘方的結果叫做a的n次冪,,a的n次冪,案例16 同底數(shù)冪的運算,阿基米德的《數(shù)沙者》給出了下面兩行數(shù)：,,,,,,,,,,第一行數(shù)某兩項的乘積對應第二行數(shù)相應兩項的和。,探索同底數(shù)冪乘法的規(guī)律,給定兩行數(shù)：,,,,,,案例16 同底數(shù)冪的運算,文字表述:同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。,（m、n、p都是正整數(shù)）,同底數(shù)冪乘法法則,

36、案例16 同底數(shù)冪的運算,例1、計算下列各式，結果用冪的形式表示：,,,,案例16 同底數(shù)冪的運算,例2、計算下列各式，結果用冪的形式表示：,,,案例16 同底數(shù)冪的運算,例3、計算：,,,,案例16 同底數(shù)冪的運算,,小結：你覺得了解冪的歷史對你的學習有哪方面的幫助？你喜歡聽有關數(shù)學史的故事嗎？為什么？你理解并掌握了同底數(shù)冪乘法的法則了嗎？能否用文字語言和符號語言敘述出來？在同底數(shù)冪乘法運算過程中應該注意哪些事項？你

37、對本堂課中哪個環(huán)節(jié)比較感興趣？原因是什么？,案例16 同底數(shù)冪的運算,案例17 一元二次方程的概念,一元二次方程概念的引入左：全國教材 華師大版右：上海教材,例 1 (1) 矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（Moscow紙草書） (2) 已知矩形面積為12，長比寬多4。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。,案例17 一元二次方程的概念,例 2 (1) 直角三角形一直角

38、邊是另一直角邊的2 1/2倍，面積為20。兩直角邊各為多少？ (2)直角三角形兩條直角邊之和為13，面積為20。兩直角邊各為多少？,案例17 一元二次方程的概念,學生對數(shù)學史知識的看法,● 通過數(shù)學史上的問題，可以了解到數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系；● 數(shù)學史展示了解某些定理的起源，有助于更好地理解數(shù)學；● 數(shù)學史引人入勝，激發(fā)了學習興趣；● 通過數(shù)學史可以豐富知識，增長見識；● 數(shù)學史陶冶情操、凈化心靈；● 數(shù)學史讓

39、枯燥的數(shù)學課變得輕松；● 通過數(shù)學史可以學習古人的智慧。,HPM教學后教師的變化,J教師的變化● 初步形成了自己的教學風格一種超越。在J教師的HPM教學中，數(shù)學史不是擺設，而是改進教學的工具，實踐表明，數(shù)學史的融入促進了學生的學習，最終也提高他們的學習成績。一座橋梁。在J教師的課堂上，學生為薩默斯隧道的神奇而驚嘆，為泰勒斯的智巧而稱奇，為希帕索斯追求真理的執(zhí)著而震撼，為阿基米德的海邊奇思而頓悟，為趙爽的“負薪余日、聊觀周髀”而感

40、動，……J教師的教學已經在數(shù)學和人文之間架起了一座美麗的橋梁。一個視角。HPM介入教學后，J教師不再“吝惜”概念引入的時間，而常常采用發(fā)生教學法，追求自然無痕的境界，學生們在課堂里獲得了如沐春風般的愉悅感。,HPM教學后教師的變化,● 對學生的認知規(guī)律有更深的理解HPM介入教學后，J教師經常會在教學中參照歷史這面鏡子，以歷史指導自己的教學。比利時-美國科學史家薩頓（G. Sarton, 1884～1956）說得好：“歷史告訴我們，

41、一種工具的采用幾乎在每一種情形下都是極其緩慢的?！薄坝米帜副硎緮?shù)”的歷史橫跨兩千多年，直到16世紀末，法國數(shù)學家韋達（F. Viète, 1540～1603）才首次用字母來表示任意數(shù)。歷史啟示我們：學生對這一思想的理解必定是一個緩慢的過程，在后續(xù)的教學中要慢慢體會，絕不能一蹴而就。只有讓學生明白這一點，他們才會有信心把它學好，并充滿期待。,HPM教學后教師的變化,● 批判教材的能力得到了提升教師從HPM的視角來審視教材，批判

42、能力也得到了提高。以下是她對教材中的全等三角形判定定理的思考?！斑呥呥叀眲t未經證明直接作為定理給出，只在注釋中說明：我們將在以后補上關于“三邊對應相等的兩個三角形全等”的說理。翻閱教參，發(fā)現(xiàn)在該節(jié)課的“注意事項”中有這樣的說法：“邊邊邊”判定方法，教材是直接給出的，在八年級第一學期將對它進行證明。但事實上，教材利用拼接和等腰三角形知識，只對直角三角形全等作了證明，并未進一步說明“邊邊邊”定理。實際上，用拼接和等腰三角形知識說明“邊邊邊

43、”的方法，根本不用等到八年級，按照課本的體例安排，只要學完等腰三角形的知識，在七年級上學期就馬上可以說明了。,HPM教學后教師的變化,● 拓展課本知識的意識得到了增強用歷史的眼光審視教材，J教師常發(fā)現(xiàn)其中的不足之處，于是，就常常拓展一些有利于學生理解、體現(xiàn)知識應用、引人入勝的內容。“全等三角形的應用”就是其中一例。從歷史上看，全等三角形和相似三角形一樣，也源于測量。但教材有相似三角形的應用，卻無全等三角形的應用，對兩個知識點的處理并

44、不一致。J教師對全等三角形知識作了拓展，結合數(shù)學史，增加了一節(jié)全等三角形應用課。,HPM教學后教師的變化,●教學研究能力得到了提高經過兩年的行動研究，J教師的教學研究能力有了很大的提高。在《數(shù)學教學》上發(fā)表了一篇HPM教學論文，并在上海市教學論文評比中獲獎；另一篇論文也在投稿之中。2011年5月，在華東師范大學主辦的第四屆“數(shù)學史與數(shù)學教育國際研討會”上，J教師作了“數(shù)學史融入初中數(shù)學教學的行動研究”的學術報告，獲得與會者的好評。自

45、此，J教師不定期與大學數(shù)學教育研究者、研究生以及具有共同愛好的中學數(shù)學教師聚會，討論初中數(shù)學中的數(shù)學史以及HPM視角下的數(shù)學教學設計，J教師如今已經成為國內HPM學術共同體的一員。,● 一門課程 “數(shù)學史與數(shù)學教育”應該成為數(shù)學教師在職培訓的重要課程之一。● 一種模式 大、中學教師的合作是HPM實踐研究的理想模式?！?一批案例 要讓更多的數(shù)學教師接受HPM，就必須讓他們看到HPM教學案例的成功之處以及HPM對于專業(yè)發(fā)展的巨大