《數(shù)學史》課件

1、第三章 中世紀的中國數(shù)學,主講人：翟影 搜集資料：劉玲 ppt制作：李艾娟,希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀的歐洲湮沒不彰。數(shù)學史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的東方時期。中世紀（公元5-17世紀）數(shù)學的主角，是中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學。,與希臘數(shù)學相比，中世紀的東方數(shù)學表現(xiàn)出強烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學推導。,就繁榮

2、時期而言，中國數(shù)學在上述三個地區(qū)是延續(xù)最長的。從公元前后至公元14世紀，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達到了中國古典數(shù)學的頂峰。,3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》,3.1.1 古代背景,,第一章中已涉及了中國遠古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴格的十進位值制籌算記數(shù)。,《孫子算經(jīng)》中記載的籌算記數(shù)法則說：“凡算之法，先識其位。一縱十橫

3、，百立千僵。千十相望，百萬相當”。,縱式用來表示個位、百位、萬位，……數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、……數(shù)字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)76 031用算籌表示出來是 。這種十進位值記數(shù)法是中國古代數(shù)學對人類文明的特殊貢獻。,關(guān)于幾何學，《史記》“夏本紀”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”?！耙?guī)”是圓規(guī)，“矩”是直尺，“準繩”則是確定鉛垂方向的器械。,中國古代數(shù)學的萌芽,社會歷史背景條件

4、 相對封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán) 中國數(shù)學的特點 形成了以計算為核心的算法理論 具有濃郁應用色彩 中國數(shù)學的成就 第一部數(shù)學著作《九章算術(shù)》（大約公元前200年左右） 公元3世紀至13世紀，創(chuàng)造了許多領先于其它民族的眾多數(shù)學成果,形成國家數(shù)學教育的體制,中國古代數(shù)學的萌芽,中國古代數(shù)學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生

5、以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。,中國古代數(shù)學的萌芽,,“數(shù)學”一詞相當于我國古代的“算術(shù)” 數(shù)學一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀宋代數(shù)學家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務究造化之源者，是數(shù)學”。,中國古代數(shù)學的萌芽,戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭

6、論直接與數(shù)學有關(guān)。儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學宇宙論為哲學依托.墨家則以幾何學為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學為其論說的工具。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。 《九章算術(shù)》中的名題：“女子善

7、織，日子倍”。,3.1.2《周髀算經(jīng)》,在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部。 作者不祥，成書年代應不晚于公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數(shù)學、天文知識，有的可追溯到西周（公元前11世紀-前8世紀）。這部著作實際上是從數(shù)學上討論“蓋天說”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學與天文學的密切聯(lián)系。從數(shù)學上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分數(shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。,“周髀”是測

8、量日影的工具—八尺長竿,蓋天說,勾股定理,宋版書影,日高術(shù),《周髀算經(jīng)》: 數(shù)學著作,天文學著作.  “蓋天說”的代表.  約成書于西漢時期(公元前2世紀).  數(shù)學內(nèi)容:學習數(shù)學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數(shù)計算等.,《周髀算經(jīng)》,蓋天說認為大地象個平面，天象口大鍋扣在地上。注：到西漢時期，有蓋天說、渾天說和宣夜說。渾天說認為天是球形的，大地在中間。宣夜說認

9、為宇宙是無限的空間，天體浮生于其中，其運動需要“氣”的作用。,《周髀算經(jīng)》上卷 :勾股定理的證明,昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？” 　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”,“勾廣三

10、,股修四,徑隅五”,商高定理-----勾股定理,返回,“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”,古典數(shù)學的形成與發(fā)展時期,周人的測日影表古代認為夏至時立一8尺高的標竿，它的影長正好是6尺。“求邪至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里?！?日高公式（重差術(shù)）：,影差d =后影長BD — 前影長AC = b — a,表距AB = e,中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證

11、明的數(shù)學家，是公元3世紀三國時期的趙爽（吳）。趙爽注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。,考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應有 如果將這合并圖形所含的兩個三角形移補到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應為 ，因此,古代數(shù)學家趙爽,趙爽，又名嬰，字君卿，中國數(shù)學家。東漢末至三

12、國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學家與天文學家。生平不詳，約生活于公元3世紀初。趙爽的《周髀算經(jīng)注》逐段解釋《周髀》經(jīng)文。,,,,,3.1.3《九章算術(shù)》,《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學最重要的著作。成書年代至遲在公元前1世紀，其中的數(shù)學內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。 《周禮》記載,西周貴族子弟必學的六門課程（“六藝”）中有一門是“九數(shù)”，劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（?-

13、公元前152）、耿壽昌等人刪補。,《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章。,中國古代數(shù)學體系形成,《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是

14、很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學發(fā)展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。,《九章算術(shù)》標志著中國傳統(tǒng)數(shù)學的知識體系已初步形成?！〈砹酥袊鴤鹘y(tǒng)數(shù)學體系和思想方法的特點：注重實際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計

15、算方法,明代刊印的《九章算術(shù)注》,中國古代數(shù)學體系形成,《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學的發(fā)展。,1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界 上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。 2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比

16、例問題。 3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體 積的計算為主。 6.均輸：計算稅收等更加復雜的比例問題。 7.盈不足：雙設法的問題。 8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)。 9.勾股：勾股定理的應

17、用。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容,(一）算術(shù)方面,（1）分數(shù)四則運算法則。《九章算術(shù)》“方田”章給出了完整的分數(shù)加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。 （2）比例算法?！毒耪滤阈g(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。 （3）盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設來求繁難算術(shù)問題的解的方法。 “盈不足術(shù)”在中世紀阿拉伯數(shù)學著作中稱為“契丹算

18、法”，即中國算法。,,（二）代數(shù)方面,（1）方程術(shù)?！胺匠绦g(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法。 （2）正負術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》在代數(shù)方面的另一項突出貢獻是負數(shù)的引進。(3) 開方術(shù)。《九章算術(shù)》“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法?！毒耪滤阈g(shù)》開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。,,（三）幾何方面,《九章算術(shù)》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論

19、面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應用。,各種幾何圖形的名稱就反映著它們的現(xiàn)實來源。如平面圖形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圓田”（圓）、“弧田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等；立體圖形則有“倉”（長方體）、“方亭”（平截頭方錐）、“陽馬”（底面為長方形而有一棱與地面垂直的錐體）以及“芻童”（上、下底面都是長方形的棱臺）等等。,《九章算術(shù)》中給出的所有直