數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(3)

1、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育,第三章 初等幾何 本章將以幾何中“形”的發(fā)展過程作為脈絡(luò)，出簡單到復(fù)雜，由單維到多維，由直觀到抽象，由直覺到論證，對初等幾何進(jìn)行全面的分析。,初等幾何,§3.1幾何的歷史 §3.2幾何度量 §3.3幾何測量,,§3.1幾何的歷史,一.幾何的起源 —— 無意識幾何階段 ?跟人類歷史一樣古老的“形的意識”，在遠(yuǎn)古時期就被清晰地表現(xiàn)

2、 出來了。 ?“形” 的意識來自于“物”，這里的“物”，一是指自然界的物體，二 是指人類的實踐活動。 ?幾何中的“結(jié)構(gòu)”意識，在人類活動的初期，其表現(xiàn)的特征是簡單 的模仿和比照。 ?總之，“形”的意識、“度量”意識和“結(jié)構(gòu)”意識來自于人們對自然 界的感受和體驗，來自于適應(yīng)大自然，改造大自然的實踐

3、活動。這 是人類在幾何領(lǐng)域中最原始、最基本的抽象活動，是對幾何的粗淺 而簡單、直接而形象的認(rèn)識。 ?我們把這一階段的幾何稱作無意識幾何（階段）。,§3.1幾何的歷史,?兒童在形成幾何概念、了解幾何性質(zhì)以及認(rèn)識幾何結(jié)構(gòu)上，是否 也要經(jīng)歷無意識幾何階段呢? ?從過程來看，每個兒童都必定要經(jīng)歷這種無意識幾何階段。 ?從內(nèi)容范圍來看，與

4、人類歷史相比，現(xiàn)在的兒童在這一階段，可 以接觸到前所未有的十富多彩的現(xiàn)實索材。,§3.1幾何的歷史,二．幾何的發(fā)展 —— 經(jīng)驗幾何的產(chǎn)生 ?當(dāng)人們經(jīng)歷了“無意識幾何”的漫長醞釀之后，慢慢步入了經(jīng)驗幾何階段。 ?所謂“經(jīng)驗幾何”就是人們通過對大量的具體幾何素材進(jìn)行反復(fù)地感受和體驗，歸納、概括出較為一般的幾何關(guān)系，在實踐中對之加以驗證和檢驗，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實驗型幾何的歷史階段

5、。 ?對經(jīng)驗幾何的特點加以分析后，可以發(fā)現(xiàn)其中包含“特例研究發(fā)現(xiàn)法”，即對具體事例進(jìn)行分析、研究和實驗，采用歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問題的辦法，從而達(dá)到解決問題的目的。,§3.1幾何的歷史,?在經(jīng)驗幾何階段，思維發(fā)展水平限制了對一些難度較大的問題的 進(jìn)一步探索，從而被迫轉(zhuǎn)而采用實驗的方法對問題進(jìn)行粗略的、近 似的處理。 ?對于現(xiàn)今的

6、中學(xué)幾何教學(xué)而言，經(jīng)驗幾何的思想方法提供了許多 深層次的啟示意義： ? “經(jīng)驗幾何”能夠提供給學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)活動空間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成 真正意義上的“數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”。 ?以“經(jīng)驗幾何”的活動方式對幾何問題進(jìn)行探索，能夠提升學(xué)生學(xué) 習(xí)的主動性。 ?“經(jīng)驗幾何”中所含的主要思想方法便為“不完全歸納法”，而這一 方法在發(fā)展學(xué)生的“策略創(chuàng)造”思維方面具有獨特的效能。

7、所以，在幾何學(xué)習(xí)過程中，我們主張先從“宏觀”——生動活潑的 “策略創(chuàng)造”出發(fā)，再以“微觀” —— 一絲小茍的“邏輯演繹”予以補正。,§3.1幾何的歷史,三．論證幾何 1.論證幾何產(chǎn)生的哲學(xué)基礎(chǔ) ?論證幾何的基本要素有兩個，一是幾何的基本原理 —— 公理是否可靠；二是邏輯推理的過程是否嚴(yán)密。而古希臘的哲學(xué)為其提供了堅實的理論基礎(chǔ)和思想支柱。 ?古希臘愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人泰勒斯(Thales

8、，約公元前624～前647) 被公認(rèn)為是希臘的第一個幾何學(xué)家，他不僅是希臘哲學(xué)的鼻祖,也是論證幾何的先行者。 ?而后柏拉圖把自已的哲學(xué)與數(shù)學(xué)溶為一體，認(rèn)為不知道數(shù)學(xué)的人， 不可能接受哲學(xué)知識。 ?柏拉圖的學(xué)生亞里士多德(Aristotle，希臘，約公元前384～前322)， 作為演繹邏輯的創(chuàng)造者，對論證幾何的貢獻(xiàn)是無與倫比的，被稱作是第一個把這些規(guī)律典范化和系統(tǒng)化的人。,§3.1幾何的

9、歷史,2.《幾何原本》 ?歐幾里德的《幾何原本》(Elements)堪稱論證幾何的典范，在世界各 地流傳甚廣，曾被譯成多種文字。 ?《幾何原本》共含十三篇，內(nèi)容涉及初等幾何，初等數(shù)論和幾何代 數(shù)。 ?《Elements》其實純粹是眾多學(xué)者智慧的結(jié)晶，但歐幾里德依然是 個大數(shù)學(xué)家，他畢竟對前人的成果加以整理、歸納、完善和發(fā)展。 ?歐幾里德(Euclid，希臘，約公元前330～前275)曾經(jīng)

10、在柏拉圖的學(xué)園 中學(xué)習(xí)過一段時間，深受柏拉圖、亞里士多德等人的影響，后主持過 亞歷山大數(shù)學(xué)學(xué)派，成為這一學(xué)派的奠基人。 ?可以說,歐幾里德的幾何就是論證幾何，論證幾何階段的代表人物當(dāng) 屬歐幾里德本人，而《幾何原本》則是論證幾何的最重要的思想體現(xiàn)。,§3.1幾何的歷史,3.論證幾何在中國 ?在中國古代幾何領(lǐng)域中也曾存有論證幾何的影子。 ?就在與希臘歐幾里德相同的年代，中國式的論證幾何

11、著作 —— 《墨經(jīng)》誕生了，它是我國戰(zhàn)國時期的墨家思想的代表作，其中論及 數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)等方面的內(nèi)容，特別在《墨經(jīng)》的“經(jīng)上”、“經(jīng)上說” 等篇章中，給出了許多幾何定義和命題。,§3.1幾何的歷史,4.對論證幾何的思考 ?論證幾何在一千多年的時間里始終占據(jù)了幾何領(lǐng)域內(nèi)的主導(dǎo)地 位(直至19世紀(jì)非歐幾何的誕生)，而歐幾里德也一直是幾何的代名 詞，其深刻的歷史原因有:,

12、67;3.1幾何的歷史,?崇尚理性是當(dāng)時（古希臘時期）人們的普遍愿望，追求“形而上”的“經(jīng)院式”哲學(xué)理念，在古希臘上流社會中表現(xiàn)得尤為突出。 ?由于經(jīng)驗幾何使用方法的不確定性和隨意性，所得結(jié)論與實際情況 出入較大，以及對無理量的疑惑，人們開始意識到，直觀是不可靠的。 ? 在許多人看來，《幾何原本》是最好的思想材料，論證幾何中演繹 推理的思想方法可以訓(xùn)練人的思維，使其既理性又嚴(yán)密，既和諧完整 又無懈可

13、擊。 ? 論證幾何的創(chuàng)導(dǎo)者和支持者們認(rèn)為論證幾何是數(shù)學(xué)與邏輯的完美結(jié) 合，他們把似乎走到盡頭的經(jīng)驗幾何重新引向了光明的大道上，同時 也為邏輯思辯找到了新的用武之地，從而使數(shù)學(xué)變成了最具“智慧”的 科學(xué)。,§3.1幾何的歷史,〖問題3.1〗 1. 幾何發(fā)展一般經(jīng)歷有哪幾個階段？各具有什么特點？ 2. 試分析“論證幾何”在古希臘產(chǎn)生的歷史原因。

14、 3. 試分析“無意識幾何”對培養(yǎng)兒童“形”的意識的重要作用。 4. 古希臘“論證幾何”對數(shù)學(xué)發(fā)展具有怎樣歷史意義？ 5. 為什么說“經(jīng)驗幾何”是幾何發(fā)展進(jìn)程中不可或缺的歷史階段？,§3.2幾何度量,一.長度的度量 ?人們在實踐中形成“直線”的概念后，進(jìn)一步就要考慮，如何確定這些線段的“大小” 呢? ?畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是通過兩個線段中所含“數(shù)目”

15、的比來確定線段的“大小”，但由于不可公度量的存在，使得這一工作難以繼續(xù)。 ?而后，天才的歐道克斯引入了“變量”(簡稱量)而“巧妙地”饒開了無理數(shù)，使得“量”只有幾何上的意義，而與“數(shù)”無關(guān)。 ?這樣由兩個“量”的比來確定線段的“大小”，導(dǎo)致作為基準(zhǔn)的、固定 的量的產(chǎn)生，即“單位長”的出現(xiàn)。 ?中國古代對“單位長”的使用顯得非常得心應(yīng)手。 ?《孫子算經(jīng)》(公元400年)中曾對長度的度量作出

16、了形象的描述：“度之所起，起子忽，欲知其忽，蠶吐絲為忽”。,§3.2幾何度量,二.面積的度量 由于東、西方數(shù)學(xué)家對幾何認(rèn)識角度不同，幾何的理論基礎(chǔ)存在較大差異，因此對面積的處理方式、采用的方法也各有特色。 1．多邊形面積 ?在“形”的意識不斷完整化過程中，處理“形”的“大小”問題日顯重要。 ?正方形、矩形的面積度量難度并不大，人們甚至是直接拿這些“完 整”的幾何圖形作為面

17、積度量的“基準(zhǔn)”，相當(dāng)于長度中的“單位”。 ?畢達(dá)哥拉斯就直接用因數(shù)的積給出正方形和矩形的面積定義。 ?我國《九章算術(shù)》第一章“方田(正方形和矩形的田的統(tǒng)稱)”中第一 題：今有田廣(即‘寬’)十五步，從(同‘縱’)十六步。問為田幾何。答 曰：一畝。方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步(乘積的平方步數(shù))。 ?可見對于正方形和矩形的面積問題，古人早有研究。,§3.2幾何度量,?由此，“直角三

18、角形”的面積也就不難解決了，但困難的是如何求“斜三角形”的面積，以及不規(guī)則的多邊形面積。 (1) 歐幾里德的“轉(zhuǎn)化”思想在面積理論中的應(yīng)用 ①兩個三角形的面積轉(zhuǎn)換：等底等高的兩個三角形面積相等。 《幾何原本》卷一35題：同底并界于兩平行線之間的平行四邊形 (面積)彼此相等。由命題35之結(jié)果，易得上述結(jié)論。 ②復(fù)雜的多邊形向簡單的三角形“轉(zhuǎn)化” 歐幾里德曾給出這樣的結(jié)論：一個（

19、凸）多邊形總可以“轉(zhuǎn)化”為 與其面積相等的三角形。,§3.2幾何度量,(2) 中國古代“出入相補原理”在面積理論中的應(yīng)用 ? “出入相補(以盈補虛)原理”也稱“拼補原理”或“割補原理”。對給定的幾何圖形進(jìn)行“分割”、“拼湊”、“補缺”和“搭配”等，使之轉(zhuǎn)化為簡單的或已知的幾何圖形，從而達(dá)到計算不規(guī)則直線形面積的目的。 ?《九章算術(shù)》“方田”章給出了具體的方法。,§3.2幾何度量,(3)

20、 早期三角形面積公式 ①海倫公式 ?海倫(Heron，約100年)在他的著作《測量學(xué)》給出了三角形面積公 式，并在其他著作(如《經(jīng)緯儀》、《度量》)中給予了證明。 ?對這一公式的證明，海倫是采用論證幾何的“純演繹”的手段來完成 的。 ② 印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅(1114～1185)在《麗羅瓦提》(Lilavati嬉有章)中作出三角形曲積的求法，他的作法是“純代數(shù)”的。,§3.

21、2幾何度量,③ 1247年南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中討論了“已知三角形三邊求它 的面積”這一問題，并給出了一個數(shù)學(xué)公式 。但這一公式來歷不 明，其證明方法早已失傳，后人的猜測趨同于“出入相補原理”， 其中用到劉徽公式。 ?以上三種方法分別從幾何演繹、幾何代數(shù)與幾何變換等不同的角度對三角形面積進(jìn)行了研究，顯示出各自的特色，反映了三個國度的數(shù)學(xué)文化特征。,§

22、;3.2幾何度量,2．曲邊形面積 (1) 歐幾里德對圓的面積的研究 ?《幾何原本》第十二篇命題2：“圓與圓(的面積)之比等于以其直徑為邊的正方形(面積)之比?！??那么這一事實在當(dāng)時是如何被確認(rèn)的呢? ?首先需要一個我們稱之為“歐道克斯原理”的引理，其次采用“窮竭法”(歐道克斯最先使用這一原理)對圓進(jìn)行“窮竭”，最后以“窮舉法”(間接證法的一種)對之加以證明。,§3.2幾何度量,(2) 阿基

23、米德對曲邊形面積的研究 ①   阿基米德生平簡介 ?意大利西南島嶼西西里島的一個沿海城鎮(zhèn)——敘拉古（當(dāng)時受希 臘控制）是天文學(xué)家、力學(xué)家和數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，公 元前287～前212）的故鄉(xiāng)。 ? 杠桿和重心理論的建立是阿基米德在力學(xué)上的第一次貢獻(xiàn)，他在 這方面的著作共有四篇：《杠桿論》 、《支柱論》（已失

24、傳） 、 《板的平衡》兩篇。 ?他的流體力學(xué)定律和杠桿原理為大家所熟知，許多關(guān)于他的故事 至今被傳誦。,§3.2幾何度量,②圓的度量 ?阿基米德在其著作《圓的度量》中對圓進(jìn)行研究時，首先提出圓周長的度量問題。 ?阿基米德分別作圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形，求得圓的周長與直徑之比的近似值22/7≈3.1428。這一結(jié)果被后人稱作“阿基米德數(shù)”，是公元前圓周

25、率π的最好結(jié)果。 ③拋物弓形的面積 ?阿基米德在《論拋物線求積法》就如何求拋物弓形的面積作了專門的研究。,§3.2幾何度量,（3）劉徽的“割圓術(shù)” ?劉徽在《九章算術(shù)·注》中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割， 以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！薄?這就是劉徽“弧矢割圓術(shù)”（簡稱“割圓術(shù)” ）的思想方法。 ?那么，他的具體作法是怎樣的呢？　 ①首先通過

26、圓內(nèi)接正六邊形來推算圓內(nèi)接正十二邊形的面積。 ②一般地得到劉徽不等式 S2n ﹤ S ﹤ S2n + （S2n-Sn） ……（*） ③圓周率的計算,§3.2幾何度量,?劉徽利用公式（*）計算到圓內(nèi)接正192邊形，得到如下結(jié)果： 3.141024﹤π﹤3.142704。 ?后祖沖之（南北朝，公元429～500）得圓周率的結(jié)果為： 3.1415926﹤π﹤3.141592

27、7 ?有人推測很可能也是采用劉徽的“割圓術(shù)”，并且使用了劉徽公式（*）。 ?同時，祖沖之給出了約率22/7（即阿基米德數(shù)），以及著名圓周率 分?jǐn)?shù)355/113（≈3.1415929203），稱之為密率。這一結(jié)果曾在世界上 保持了一千多年的領(lǐng)先地位。,§3.2幾何度量,三．體積的度量1.多面體體積的計算 (1) 劉徽的三個基本幾何體概念　 ?劉徽說道：“邪（斜）解立方得兩塹堵”。又說：“邪（斜

28、）解塹堵， 其一為陽馬，一為鱉月需（nào）”。 ?在對立方（長方體）進(jìn)行“分解”后，劉徽又給出了“合成”的過程。 “合兩鱉月需成一陽馬，合陽馬而成一立方，故三而一?！? (2) 劉徽原理 ?在此基礎(chǔ)上，劉徽給出了我們稱之為“劉徽原理”的結(jié)論：斜解一 長方體，所得陽馬和鱉月需的體積的比恒是二比一。 ?這樣，多面體的體積問題最終歸結(jié)為求鱉月需的體積。因為一個 多

29、面體可以分解為若干個四面體，而一個四面體可分解為六個鱉 月需。,§3.2幾何度量,2.球體體積(1) 劉徽的“牟合方蓋” 　　　　　　　　　　　　　 ?首先，劉徽深知“圓與其外切正方形面積之比為π比4”。 ?其次，劉徽使用了祖日恒原理（既然在祖日恒之前劉徽已經(jīng)使用， 故應(yīng)稱劉祖原理）　　 ?更重要的是，劉徽創(chuàng)

30、造性地給出了他的“牟合方蓋”。 ?取一正方體（邊長為d），用直徑為d的圓柱面對正方體從正面和 側(cè)面進(jìn)行兩次截割，“則其型有似牟合方蓋矣?！??結(jié)合上述結(jié)果，可得“牟合方蓋”與正方體的內(nèi)切球的體積之比為 4∶π?！∵@樣，只要求出“牟合方蓋”的體積，就可知球體的體積 了。那么“牟合方蓋”的體積為多少呢？劉徽說：“敢不闕（同‘缺’） 疑，以待能言者?！惫?，兩百多年后出來一位“

31、能言者”，此人便是 祖沖之的兒子祖日恒。,§3.2幾何度量,(2) 祖日恒與球之體積 ?祖日恒對“牟合方蓋”的八分之一加以研究。 ?經(jīng)過計算，并運用“劉祖原理”，祖日恒證得，截割后剩余三塊立 體的體積之和恰為一個“陽馬” 。 ?按劉徽所得到的結(jié)果：V牟∶V球 = 4∶,得V球 的結(jié)果。3.中國體積理論的特點 ?中國體積理論早在《九章

32、算術(shù)》中就有論述，劉徽注釋《九章算 術(shù)》時則獨創(chuàng)一套簡潔有效、直觀形象的多面體面積理論，把復(fù)雜的體積問題轉(zhuǎn)化成幾個簡單的“幾何模型”，既有嚴(yán)密的理論依據(jù)，又具有方法的一般性，這在數(shù)學(xué)歷史上是絕無僅有的。 ?數(shù)學(xué)家祖日恒則采著前人的腳印，沿用劉徽的“牟合方蓋”徹底解決了劉徽提出的“難題”——球體體積的計算問題，充分顯示出中國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。,§3.2幾何度量,〖問題3.2〗 1. 試分析歐幾里德幾何中關(guān)于多

33、邊形面積理論的特點。 2. 試分析中國古代幾何中關(guān)于處理多邊形面積時所表現(xiàn)出的特征。 3. 劉徽在多面體體積理論中所使用基本幾何體概念主要有哪些？ 在同一個立方（長方體）中，它們的體積之比各是多少？ 4.祖沖之與阿基米德一樣是歷史上把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于社會實際的典 范人物，他的做法對現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育有何啟示意義？ 5. 

34、劉徽說指的“能言者”是如何解決球體的體積問題的？ 6. 從劉徽的“牟合方蓋”談數(shù)學(xué)教育中想象力的培養(yǎng)。 7. 已知三邊求三角形面積，在歷史上曾經(jīng)有哪幾種典型的方法，它 們各具有什么特色？,§3.3幾何測量,一.幾何作圖1．中國的“規(guī)”和“矩” ?我國古代較早使用自己獨特的作圖工具進(jìn)行實際問題的幾何測量，其中最為古老而又被頻繁使用的作圖工具是：規(guī)、矩、準(zhǔn)和

35、繩。 ?《荀子》中的“圓者中規(guī)，方者中矩”則明確指出了“規(guī)”是用來畫圓的，只是古代“規(guī)”的兩只“腳”是固定的（即不能張合）。 ?“矩”字在甲骨文中作 ，是指兩端帶有直角的尺子，后來人們在“矩” 上加了刻度，也演變成“”的形狀。,§3.3幾何測量,2．歐幾里德的尺規(guī)作圖 ?古希臘的數(shù)學(xué)思想所反映的是一種由最簡單的原理出發(fā)演繹最廣泛的內(nèi)容的理念，與之相同，在幾何作圖上也秉承了同樣的風(fēng)格，因而對作圖工具

36、作了種種的規(guī)定（限制），即要求作圖工具盡量簡單。 ?首先，直尺上不得有任何刻度，我們稱之為“無刻度直尺”；其次，所使用的圓規(guī)的兩個“腳”的頂端不能固定（更不用說張合了），被稱之為“易散圓規(guī)”。,§3.3幾何測量,3．三大作圖難題 ?古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉第（Hippocrates,公元前五世紀(jì)，著有《Elements》一書,但已失傳）最先研究幾何三大作圖問題，即： 三等分角問題（將任意給定的角三等

37、分）；倍立方問題（作一正方體使其體積等于已知正方體體積的二倍）；化圓為方問題（作一正方形使其面積等于已知圓的面積）。 ?三大作圖難題的根本起因在于“數(shù)”（有理數(shù)）與“形”（線形和圓形）的局限，對這一問題的研究，促使人們探索更深層次的數(shù)（無理數(shù)），以及比圓復(fù)雜得多的超越曲線（割圓曲線），這就大大地推動了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，其歷史意義是不容低估的。另外，進(jìn)行幾何尺規(guī)作圖本身的訓(xùn)練活動，既能鍛煉學(xué)習(xí)者的邏輯思維，也能加深學(xué)習(xí)者對幾何結(jié)構(gòu)

38、和幾何關(guān)系的認(rèn)識，因而它在教學(xué)上的作用也是明顯的。,§3.3幾何測量,4.黃金分割 ?黃金率的產(chǎn)生源于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎是沒有什么疑問的，因為這一學(xué)派較早就對一種叫做“完全比例”的比例關(guān)系頗有研究，這種比例就是“幾何中項”，用式子表示為：。 ?若是把這一比例關(guān)系應(yīng)用到對某一線段的分割上，則就形成一個“黃金分割”：把長度為l的線段分成兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比：　……（＃）

39、 ?另外在作正五邊形時也遇到這樣的比例問題。 ?古希臘人認(rèn)為這種比例在造型藝術(shù)中具有美學(xué)價值，因此稱它為“黃金分割”或“黃金律”。 ?根據(jù)斐波那契（L．Fibonacci，意大利1175～1250）數(shù)列可以給出一簡單的計算方法：2，3，5，8，13，21，……中的前一項與后一項之比近似值，可以越來越接近“黃金分割率”。,§3.3幾何測量,二．幾何測量方法1.勾股定理的歷史和名稱 ?商高最早

40、對勾股定理給予了解釋，同時用來解決實際問題，所以勾股定理也稱“商高定理”。 ?另外《周髀算經(jīng)》記載了陳子（在周公之后）用勾股定理推算地球與太陽的距離以及太陽的直徑，因而勾股定理又叫“陳子定理”?！　?而后，人們對之俗稱為“勾股弦定理”，后來則慢慢地簡化成“勾股定理”。

41、 ?在第一章中我們曾對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有關(guān)勾股定理的研究作了分析，西方至今仍稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”，可是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理顯然比商高要晚得多。,§3.3幾何測量,2．勾股定理的證明與應(yīng)用　 ?關(guān)于勾股定理的證明，據(jù)統(tǒng)計有多達(dá)幾十種。 ?商高的“弦圖”就是一種證法。 ?劉徽注釋《九章算術(shù)》第九章“勾股”章時，采用中國特有的“出入 相補原理”給出證明，但“可惜現(xiàn)在只存文

42、字說明，其插圖早已亡 失?！??清嘉慶年間李潢著《九章算術(shù)細(xì)草圖說》補以插圖。 ?歐幾里德《幾何原本》卷一命題47給出了一個“論證幾何”式的證 明方法?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　??至于勾股定理的應(yīng)用，在中國古代數(shù)學(xué)中則是隨處可見，例如《九章算術(shù)》勾股章第一十三題即是。,§3.3幾何測量,3．幾何測量理論 ?按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，

43、幾何測量理論的建立，需要以下三方面要素的支持，一為角的度量，二是平行原理，三為相似理論。但是中國古代數(shù)學(xué)在這三方面幾乎是一片空白。 ?首先，中國古代數(shù)學(xué)雖然存有“角”的概念，但是“角”的理論既不成熟，也不完整，缺乏角的度量，僅在天文學(xué)上使用“度”的概念，而且也沒有統(tǒng)一的分度法。相比之下，古希臘對三角學(xué)早有研究，其成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過中國。,§3.3幾何測量,?早在公元前兩百年，希帕恰斯（Hipparchus，希臘，～前125

44、年）就把圓周分為360°,并在一本論述圓之弦的書中給出弦的長度數(shù)，而給定度數(shù)的弦所對應(yīng)的弦之長度數(shù)目，相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦函數(shù)。另外，他還給出了球面三角形的圖解法。 ?隨后，希臘另一位數(shù)學(xué)家梅涅勞斯（Menelaus，約公元98年）著《球面學(xué)》（Sphaerica）而把三角術(shù)提高到一個全新的高度。梅涅勞斯在此書中對球面三角理論作了全面的論述，第一次正式給出了球面三角的定義，其中就列有著名的“六種數(shù)量的法則”。

45、 ?希臘的另一位天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家（埃及人，生活在亞里山大里亞）托勒密（Claudius Ptolemy ，～168年）著成《數(shù)學(xué)匯編》（阿拉伯人稱之為《大匯編》）而把古希臘的三角術(shù)推向頂峰。此書也被認(rèn)為是當(dāng)時最具系統(tǒng)的三角術(shù)論著。,§3.3幾何測量,?托勒密把天文與三角融為一體，他的三角就是球面三角，這樣就為平面三角的研究奠定了理論基礎(chǔ)，因此在歷史上，先有球面三角后有平面三角。 ?其次，平行原理和相似理論在歐幾里德《

46、幾何原本》中得到了充分的演繹，反觀中國古代數(shù)學(xué)，完全沒有歐氏幾何的平行、相似理論。 ?然而，盡管如此，中國古代數(shù)學(xué)的幾何測量卻取得了輝煌的成就， ?這在表面上看來這似乎是不可思議的，其中的奧妙就在于，“中算家”們引用了一套既簡單直觀，又巧妙獨特，且行之有效的方法。,§3.3幾何測量,4.中國的測量術(shù)(1) 中國式的相似理論 —— 勾股不失本率 ?《九章算術(shù)》勾股章一十五題：“今有勾五步，股十二步

47、。問勾中容方幾何?！??劉徽注釋：“……冪圖方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，而其相與之勢不失本率也”。 ?這一方法被稱為“勾股容方術(shù)”，而“（勾股）不失本率”原理由此產(chǎn)生。按現(xiàn)在的話說是，相似三角形的對應(yīng)邊成比例。,§3.3幾何測量,(2) 三點共線 —— 參直法 ?接上面的十六題，《九章算術(shù)》勾股章一十七題是：“今有邑方二 百步，各中開門。出東門十五步有木。問出南門幾

48、何步而見木?！?術(shù)曰：出東門步數(shù)為法，半邑方自乘為實，實如法得一步。 ?此問題與十五題相同，也構(gòu)成一個“勾股容方圖”，只是過程正好 相反，因而需要用三點共線進(jìn)行作圖，這種方法在中國古代稱為 “參直法”，《墨經(jīng)》中說：直，參也。 ?以“不失本率”原理和“參直法”作為幾何測量的基本方法，解決一 般的測量問題已變得非常容易了，可對于一些復(fù)雜的問題還是無能 為力，因而需要創(chuàng)造出更“先進(jìn)”的

49、工具和方法。,§3.3幾何測量,(4) 高明的測量方法 —— 重差術(shù)　　　　　　　　　 ?當(dāng)然，劉徽深知上述的測量方法帶有很大的局限性，往往受制于自然環(huán)境和地理位置等因素。對此，他在《九章算術(shù)·注釋》的序言中指出：“凡望極高、測絕深而兼知其遠(yuǎn)者，必用重差?！??即目標(biāo)“極高”、“絕深” 等不能靠近進(jìn)行實際測量時，必須用兩次（或兩次以上）測量的方法加以實現(xiàn)。并且為了進(jìn)一步說明問題，而著《海島算經(jīng)》

50、給出幾何測量更加高深但實用的方法，即“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望?！?§3.3幾何測量,〖問題3.3〗 1. 試比較中國古代的“規(guī)、矩”作圖與歐幾里德的“尺規(guī)作圖”的不同 風(fēng)格。 2. 中國古代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的“重差術(shù)”中包含的思想方法主要有哪些？ 它們各自的含義是什么？ 3. 試敘述“勾股 定理”名稱