《電動(dòng)力學(xué)》第4講 §12 電流和磁場(chǎng)

1、《電動(dòng)力學(xué)》第4講,第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律(2)§ 1.2 電流和磁場(chǎng)教師姓名： 宗福建單位： 山東大學(xué)物理學(xué)院2014年9月19日,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,2,上一講復(fù)習(xí),1、直接給出庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，寫明其中各個(gè)符號(hào)的物理意義。2、寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，給出有限區(qū)域分布電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，并推導(dǎo)出高斯定理的積分形式和微分形式。3、計(jì)算靜電場(chǎng)的旋度。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,3,上

2、一講復(fù)習(xí),1. 庫(kù)侖定律 庫(kù)侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律，它表達(dá)如下：真空中靜止點(diǎn)電荷Q對(duì)另一個(gè)靜止點(diǎn)電荷的Q'作用力F為:式中r為由Q到Q'的徑矢，ε0真空電容率（真空介電常量）。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,4,電場(chǎng),一個(gè)靜止點(diǎn)電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 :,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,5,靜電場(chǎng)的散度和旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,6,上一講習(xí)題簡(jiǎn)答,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,7,山東大學(xué)物理學(xué)院

3、 宗福建,8,同理還可以證明：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,9,上一講習(xí)題簡(jiǎn)答,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,10,上一講習(xí)題簡(jiǎn)答,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,11,上一講習(xí)題簡(jiǎn)答,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,12,上一講習(xí)題簡(jiǎn)答,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,13,本講主要內(nèi)容,電荷守恒定律安培定律畢奧-莎伐爾(Biot-Savart)定律磁場(chǎng)的散度磁場(chǎng)的旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,14,電荷守恒定律,電流密度 J的

4、定義：定義電流密度 J，它的方向沿著該點(diǎn)上的電流方向，它的數(shù)值等于單位時(shí)間垂直通過單位面積的電量，從而通過面元dS的電流dI為,通過任一曲面S的總電流強(qiáng)度I為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,15,電荷守恒定律,如果電流由一種運(yùn)動(dòng)帶電粒子構(gòu)成，設(shè)帶電粒子的電荷密度為ρ，平均速度為υ，則電流密度為,設(shè)帶電粒子的密度為n,每個(gè)帶電粒子的電量為q，平均速度為υ，則電流密度為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,16,電荷守恒定律,如果有幾種帶電粒子，其

5、電荷密度分別為ρi，平均速度為υi，有,設(shè)每種帶電粒子的密度為ni,每個(gè)帶電粒子的電量為qi，平均速度為υi，則電流密度為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,17,電荷守恒定律,我們知道，物體所帶的電荷是構(gòu)成物體的粒子（電子、質(zhì)子等）的一個(gè)屬性。不論發(fā)生任何變化過程，如化學(xué)反應(yīng)、原子核反應(yīng)甚至粒子的轉(zhuǎn)化，一個(gè)系統(tǒng)的總電荷嚴(yán)格保持不變。這是目前為止人們所知道的自然界精確規(guī)律之一。電荷守恒定律在數(shù)學(xué)上用連續(xù)方程表示。,考慮空間中一確定區(qū)域V，其邊

6、界為閉合曲面S。當(dāng)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能有電荷進(jìn)入或流出該區(qū)域。但是由于電荷不可能產(chǎn)生或消滅，如果有電荷從該區(qū)域流出的話，區(qū)域V內(nèi)的電荷必然減小。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,18,電荷守恒定律,通過界面流出的總電流應(yīng)該等于V內(nèi)的電荷減小率 應(yīng)用高斯定理把面積分變?yōu)轶w積分,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,19,電荷守恒定律,應(yīng)用高斯定理把面積分變?yōu)轶w積分 由積分元dV的任意性，可得微分形式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,20,電荷守恒定

7、律,以上公式是對(duì)任意變化電流成立的。在恒定電流情況下，一切物理的量不隨時(shí)間而變，因而?ρ /?t = 0，因此,上式表示恒定電流的連續(xù)性。恒定電流分布是無源的，其流線必為閉合曲線，沒有發(fā)源點(diǎn)和終止點(diǎn)，換句話說，恒定電流（直流電）只能在閉合回路中通過，電路一斷，直流電就不能通過，這是我們熟知的事實(shí)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,21,安培定律,電磁學(xué)起源于1819年著名的“奧斯特”實(shí)驗(yàn)，1820年7月發(fā)表。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,2

8、2,安培定律,1820年9月18日，安培在法國(guó)科學(xué)院報(bào)告了他關(guān)于平行載流導(dǎo)線之間相互作用的研究。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,23,安培定律,1820年10月30日，法國(guó)科學(xué)家畢奧和薩伐爾發(fā)表了載流長(zhǎng)直導(dǎo)線對(duì)磁極作用反比于距離r的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,24,安培定律,1821年法拉第實(shí)驗(yàn)，“飄動(dòng)在水銀中的磁體”。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,25,安培定律,1820年12月4日，安培基于四個(gè)有名的實(shí)驗(yàn)和一個(gè)假設(shè)，得到電

9、流源相互作用公式。這四個(gè)實(shí)驗(yàn)采用的都是示零法，設(shè)計(jì)思想十分精巧，為物理學(xué)歷史上不朽的杰作。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,26,實(shí)驗(yàn)用品：無定向秤,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,27,實(shí)驗(yàn)一：對(duì)折導(dǎo)線,當(dāng)電流反向時(shí)，它產(chǎn)生的作用力也反向。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,28,實(shí)驗(yàn)二：螺旋線,電流源具有矢量的性質(zhì)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,29,實(shí)驗(yàn)三：弧形導(dǎo)線,作用在電流元上的力是與它垂直的。1、弧形導(dǎo)體2、絕緣柄3、4 水銀槽

10、,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,30,實(shí)驗(yàn)四：通電線圈,所有幾何線度（電流源長(zhǎng)度、相互作用距離）增加同一倍數(shù)時(shí)，作用力的大小不變。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,31,一個(gè)假設(shè),兩個(gè)電流源之間的相互作用力沿他們的連線。電流源1對(duì)電流源2的作用力：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,32,畢奧-拉普拉斯公式,兩個(gè)電流源之間的相互作用力公式電流源1對(duì)電流源2的作用力：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,33,安培公式和畢奧-拉普拉斯公式,兩個(gè)電流源之間的

11、相互作用力公式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,34,安培公式和畢奧-拉普拉斯公式,電流源I2dl2所受作用力公式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,35,安培公式和畢奧-拉普拉斯公式,電流源I2所受作用力公式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,36,畢奧-薩伐爾（Biot-Savart）定律,實(shí)驗(yàn)指出，一個(gè)電流元Idl在磁場(chǎng)中所受的力可以表示為 矢量B描述電流元所在點(diǎn)上磁場(chǎng)的性質(zhì)，稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,37,畢奧-薩伐爾

12、（Biot-Savart）定律,恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)的畢奧-薩伐爾定律寫為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,38,畢奧-薩伐爾（Biot-Savart）定律,對(duì)體電流情況：Idl應(yīng)更改為JdV積分遍及電流分布區(qū)域。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,39,磁場(chǎng)的散度,對(duì)體電流情況：積分遍及電流分布區(qū)域。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,40,磁場(chǎng)的散度,對(duì)體電流情況：積分遍及電流分布區(qū)域。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,41,磁場(chǎng)的散度,注意算符▽是對(duì)x

13、的微分算符，與x’無關(guān),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,42,磁場(chǎng)的散度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,43,磁場(chǎng)的旋度,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,44,磁場(chǎng)的旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,45,磁場(chǎng)的旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,46,磁場(chǎng)的旋度,由于，因而對(duì)r的函數(shù)而言，對(duì)x微分與對(duì)x'微分僅差一負(fù)號(hào)，因此上式可寫為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,47,磁場(chǎng)的旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,48,磁場(chǎng)的旋度,山東大

14、學(xué)物理學(xué)院 宗福建,49,磁場(chǎng)的旋度,右邊第一項(xiàng)可以化為面積分，由于積分區(qū)域V ’包括所有電流在內(nèi)，沒有電流通過區(qū)域的界面S，因而這面積分為零。在右邊第二項(xiàng)中，由恒定電流的連續(xù)性方程有▽ ' ? J(x ') = 0，因此這積分亦等于零。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,50,磁場(chǎng)的旋度,再計(jì)算,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,51,磁場(chǎng)的旋度,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,52,靜磁場(chǎng)的散度和旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建

15、,53,安培環(huán)路定理,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,54,安培環(huán)路定理,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,55,靜磁場(chǎng)的散度和旋度,實(shí)踐證明，▽ ? B=0在一般變化磁場(chǎng)下也是成立的，而▽× B = μ0 J只在恒定情況下成立，在一般情況下需要推廣。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,56,例題,例 電流I均勻分布于半徑為a的無窮長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)，求空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，并由此計(jì)算磁場(chǎng)的旋度。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,57,例題,解 在

16、與導(dǎo)線垂直的平面上作一半徑為r的圓，圓心在導(dǎo)線軸上。由對(duì)稱性，在圓周各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有相同數(shù)值，并沿圓周環(huán)繞方向。當(dāng)r > a時(shí)，通過圓周內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定律得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,58,例題,因而寫成矢量式為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,59,例題,若r < a ，則通過圓內(nèi)的總電流為 應(yīng)用安培環(huán)路定律得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,60,例題,因而,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,61,例題,

17、因而,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,62,例題,用柱坐標(biāo)的公式（附錄I.36）求B的旋度，當(dāng)r > a時(shí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,63,例題,用柱坐標(biāo)的公式（附錄I.36）求B的旋度，當(dāng)r < a時(shí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,64,例題,注意旋度概念的局域性，即某點(diǎn)鄰域上的磁感強(qiáng)度的旋度只和該點(diǎn)上的電流密度有關(guān)。雖然對(duì)任何包圍著導(dǎo)線的回路都有磁場(chǎng)環(huán)量，但是磁場(chǎng)的旋度只存在于有電流分布的導(dǎo)線內(nèi)部，而在周圍空間中的磁場(chǎng)是無旋

18、的。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,65,本講總結(jié),1、電流密度的定義，電荷守恒定律的物理意義，電流連續(xù)性方程的積分形式和微分形式。2、磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義，畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并推導(dǎo)出磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度和旋度公式。3、安培環(huán)路定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并能靈活應(yīng)用。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,66,課下作業(yè),教材第35頁(yè) 習(xí)題10補(bǔ)充題：直接給出畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，寫明其中各個(gè)符號(hào)的物理意義，并推導(dǎo)出真空中靜磁場(chǎng)