[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第2章隨機(jī)變量及其分布7-1節(jié)

1、2024/3/26,1,預(yù)備知識(shí)回顧 二重積分的計(jì)算法,,2024/3/26,2,且在積分區(qū)域D上連續(xù)時(shí),,若D為 X - 型區(qū)域,則,,若D為Y - 型區(qū)域,則,利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,2024/3/26,3,說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域 ,,為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.,則有,(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干,,X - 型域或Y - 型域 ,,則,20

2、24/3/26,4,,,,,例1. 計(jì)算,其中D 是直線 y＝1, x＝2, 及,y＝x 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則,,2024/3/26,5,例2. 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,,,,,,及直線,則,2024/3/26,6,例3. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,,因此取D 為X

3、 - 型域 :,先對(duì) x 積分不行,,說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,2024/3/26,7,例4.計(jì)算二重積分,其中區(qū)域D 是由直線,與雙曲線,圍成的閉區(qū)域 .,,,,解: Y-型區(qū)域，則,,,2024/3/26,8,,例5.計(jì)算二重積分,其中D是由直線y=2x,,x=2y 和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.,,,,x=2y,y=2x,x+y=3,,解:,由,將D看作X-型區(qū)域，它由兩部分組成:,1,2,,202

4、4/3/26,9,,例5(續(xù)).計(jì)算二重積分,其中D是由直線y=2x,,x=2y,和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.,,,,,,x=2y,y=2x,x+y=3,,解:,積分域D由兩部分組成:,1,2,,X-型區(qū)域,2024/3/26,10,第七節(jié) 多維隨機(jī)變量 及其分布(1),一、二維隨機(jī)變量及其分布,二、二維離散型隨機(jī)變量,三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,2024/3/

5、26,11,在實(shí)際問(wèn)題中，可能遇到多個(gè)隨機(jī)變量的情形，如：,1) 射擊問(wèn)題中,對(duì)于彈著點(diǎn)往往需要橫坐標(biāo)和縱坐,標(biāo)描述;,2) 研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等;,3) 具體評(píng)價(jià)產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)如尺,寸,外形,外包裝等.,,2024/3/26,12,1）定義：設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Ω={ω}，設(shè) X=X(ω) 和 Y=Y(ω) 是定義在 Ω 上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，

6、叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。,,,,Ω,ω,,,X(ω ),Y(ω),,,一、 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù),2024/3/26,13,注 意 事 項(xiàng),2024/3/26,14,3.聯(lián)合分布函數(shù),1）定義,2）幾何意義,,,,,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,(x, y),(X, Y ),2024/3/26,15,3）一個(gè)重要的公式,,y,x,o,,,,,,x1,x2,y1,y2,,,,,,,,(X, Y ),(x2 ,

7、y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),,2024/3/26,16,4）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,（1）F (x , y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的 y , 當(dāng) x1< x2時(shí)，,對(duì)于任意固定的 y ,,且,對(duì)于任意固定的 x , 當(dāng) y1< y2時(shí)，,對(duì)于任意固定的 x ,,2024/3/26,17,,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (

8、x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù).,,,y,x,o,,,,,,x1,x2,y1,y2,,,,,,,,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),說(shuō)明：任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一個(gè)二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。,2

9、024/3/26,18,定義 若X, Y均為離散隨機(jī)變量，則 (X,Y ) 為二維離散隨機(jī)變量,且,二、二維離散隨機(jī)變量,1. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布,2024/3/26,19,,X,Y,…,…,…,…,…,…,…,…,…,…,…,…,其中,2024/3/26,20,設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取,試求（X, Y）的聯(lián)合概率分布。,例1,一個(gè)值，隨機(jī)變量Y在1-X中等可能地取一整數(shù)值，,,解：,由乘法公式易得（

10、X,Y）的聯(lián)合概率分布。,即,2024/3/26,21,設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下,例2,,解：,2024/3/26,22,三、二維連續(xù)隨機(jī)變量,1. 二維連續(xù)隨機(jī)變量,定義 設(shè)X, Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，,2024/3/26,23,聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：,設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,這個(gè)公式非常重要！,2024/3/26,24,例3,(1) 求F(x,y);,(2) 求(X,

11、Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率,區(qū)域D如圖,所示.,,,2024/3/26,25,解,(1),2024/3/26,26,(2),2024/3/26,27,例 4,2024/3/26,28,,,,,,,,,2024/3/26,29,2024/3/26,30,2024/3/26,31,2024/3/26,32,小結(jié)： 1 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率的定義及性質(zhì)。 2 聯(lián)合分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。 3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的

12、聯(lián)合概率密度的定義及性 質(zhì)，特別是,4 二維均勻分布和二維正態(tài)分布。,2024/3/26,33,1. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),2. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及分布函數(shù),3. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度和分布函數(shù),內(nèi)容小結(jié),2024/3/26,34,習(xí)題二(P64)：16,17,18,作業(yè),2024/3/26,35,思考題,2024/3/26,36,備用題,1.,解,,2024/3/26,37,,2024/3/2

13、6,38,2.,解,2024/3/26,39,2024/3/26,40,2024/3/26,41,3.,設(shè)隨機(jī)事件A,B滿足,求(X,Y)的分布列.,解,2024/3/26,42,所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為,2024/3/26,43,所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為,2024/3/26,44,4.,在長(zhǎng)為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取,獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為,,Y為線段中點(diǎn)右邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，,一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于a/3的概