[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第2章隨機(jī)變量及其分布8節(jié)

1、2024/3/26,1,第七節(jié) 多維隨機(jī)變量 及其分布(2),二維隨機(jī)變量的邊緣分布,二維隨機(jī)變量的條件分布,2024/3/26,2,一、邊緣分布,則隨機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)為,二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率函數(shù)為,同理隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)為,1.已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布,2024/3/26,3,2024/3/26,4,設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概

2、率分布如下,例1,,解：,求隨機(jī)變量X與Y的邊緣概率函數(shù)。,2024/3/26,5,2.已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù),2024/3/26,6,2024/3/26,7,設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為,例2,,解：,求X與Y的邊緣概率密度,2024/3/26,8,小結(jié)： 二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系：,邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 緣分布確定聯(lián)合分布。,難點(diǎn)：求邊緣分布時(shí)如何確定積分

3、區(qū)域及邊緣 密度不為零的范圍。,2024/3/26,9,1. 離散隨機(jī)變量的條件分布,,設(shè) ( X ,Y ) 是二維離散隨機(jī)變量，其分布律為,(X, Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣概率函數(shù)分別為：,,P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...,二、離散隨機(jī)變量的條件分布,2024/3/26,10,,由條件概率公式,定理：設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機(jī)變量，,在Y

4、= yj 條件下X 的條件概率函數(shù),(1)若P{Y= yj }>0, 則,自然地引出如下定理：,(2)若P{X= xi}>0, 則,在 X= xi 條件下Y 的條件概率函數(shù),2024/3/26,11,條件分布律具有分布律的以下特性：,10 P{ X= xi |Y= yj }?0；,即條件分布率是分布率。,2024/3/26,12,設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下,例1,,解：,求(1)隨機(jī)變量X在Y=0條件

5、下的條件分布。,2024/3/26,13,設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下,例1,,求 (2)隨機(jī)變量Y在X=1條件下的條件分布。,解：,則Y在X=1條件下的條件分布為,2024/3/26,14,二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布,設(shè) ( X ,Y ) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于,所以應(yīng)在 P{ y? Y≤y+△y}>0時(shí),考慮X ≤x的條件概率,2024/3/26,15,2024/3/26,16,,稱為在條件Y= y下X的條

6、件分布函數(shù).,,隨機(jī)變量X在Y=y的條件下的條件密度函數(shù),注：條件密度函數(shù)的性質(zhì)與普通密度函數(shù)類似,隨機(jī)變量Y在X=x的條件下的條件密度函數(shù),2024/3/26,17,設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度,例2,,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.現(xiàn)設(shè)(X,Y)在圓域,解：邊緣概率密度,上服從均勻分布.求條件概率密度,2024/3/26,18,特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于,第八

7、節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,★,★,定義 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有P(X≤x,Y ≤ y)= P(X≤x)P(Y ≤ y)即 F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱X，Y相互獨(dú)立。,2024/3/26,19,,在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.,,? 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，,邊緣分布可確定聯(lián)合

8、分布！,實(shí)際意義,補(bǔ)充說明,2024/3/26,20,例1,,,解：由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)知α≥0, β ≥0, 且,2/3+ α+β=1,,即 α+β=1/3,,由X,Y相互獨(dú)立,有,2024/3/26,21,例2 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度為,解：,所以X,Y相互獨(dú)立。,問X與Y是否獨(dú)立？,2024/3/26,22,n 維隨機(jī)變量的獨(dú)立性,2024/3/26,23,特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于,,2024/3/

9、26,24,第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求Y=(X-1)2的概率分布,例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下，,解：Y的所有可能取值為0,1,4,2024/3/26,25,例2. 設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度,解：分別記X，Y的分布函數(shù)為,求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。,2024/3/26,26,例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，,解: 當(dāng)X在區(qū)間[-1,2]上取值時(shí),Y在[0,1]或[1,