kk概率論3隨機(jī)變量及分布1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 康莉2024/3/18,第二章 隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量、分布函數(shù)、概率密度,問題：若能將試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來有意義。 結(jié)果 數(shù)字 例1 將一枚硬幣拋擲3次，對(duì)這3次拋擲中，出現(xiàn)正面H的總次數(shù)感興趣，而對(duì)H, T出現(xiàn)的順序不關(guān)心。 X={0,1,2,3}例2 將一枚硬幣拋擲1次，對(duì)出現(xiàn)

2、正面H,反面 T的情況進(jìn)行觀察。 X={0,1} 1----”H” 0-----”T”,,§2.1 隨機(jī)變量,▲ 隨機(jī)變量的定義定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}。每個(gè)e對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)X(e); 定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(e)稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X, Y, Z等表示；實(shí)數(shù)值用相應(yīng)的小寫字母x, y, z等表示。隨機(jī)變量是數(shù)值化后的試驗(yàn)結(jié)果。? 樣本

3、點(diǎn)e與實(shí)數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況可用圖說明；? 有許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)值。,▲ 利用隨機(jī)變量X表示一個(gè)事件：例1，S={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,THH,THT,TTH} 隨機(jī)變量X為出現(xiàn)正面次數(shù)，X={0,1,2,3} 事件A=“正面出現(xiàn)2次”={X=2}={HHT,HTH,THH} 事件B=“正面不多于1次”={X≤1}={HTT,THT,TTH,TTT}▲ 一般地，事件

4、可表示為： P{X L}=P{e|X(e) L}, 其中L為某個(gè)實(shí)數(shù)集。 ▲ 隨機(jī)變量通常分成兩類：連續(xù)型和離散型。◆    隨機(jī)變量取值為實(shí)數(shù)，便于用“數(shù)學(xué)分析方法”進(jìn)行研究。,§2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布▲ 定義：一個(gè)隨機(jī)變量的全部不同取值為有限個(gè)或可列無限多個(gè)，該變量稱為離散隨機(jī)變量?！?如何完整的描述離散隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：離散變量X的可能取值

5、：xk , k=1,2,…, 每一個(gè)可能取值的概率： P{X=xk}=pk, k=1,2,…, P{X=xk}=pk稱為離散隨機(jī)變量X的分布律?！?分布律的性質(zhì)：,,▲ 分布律也可利用表格直觀地表示:,例1． 設(shè)汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的組數(shù)（各組信號(hào)燈的工作相互獨(dú)立），求X的分布律。,其分布

6、律的代數(shù)表達(dá)形式： P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1-p)4若p=1/2, 則：,解：以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，得X的分布律：,,▲ 三種重要的離散型分布：（一）(0-1)分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1，且它的分布律為： P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1, 0<p<1.則稱X服從（0-1）分布或兩點(diǎn)分布。(0-1)

7、0; 分布可表示為：,二項(xiàng)分布的例子： 1.對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記 2.檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格 3.拋硬幣,（二） 伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 ▲ 試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果： ，稱E為Bernoulli試驗(yàn)。 P(A)=p, P( )=1-p. 將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，稱該串重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)為n重Bernoulli試驗(yàn)。,拋硬幣一次——Bernoulli

8、試驗(yàn)。拋硬幣n次——n重Bernoulli試驗(yàn)。拋硬幣n次，并且要記錄出現(xiàn)正面（反面）的次數(shù)——二項(xiàng)分布,目的： 在n重試驗(yàn)中，計(jì)算A發(fā)生次數(shù)的概率。 隨機(jī)變量X={n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)}, X所有可能取值為：X={0,1,2,…,n} 事件{X=k}表示：有k次A發(fā)生，n-k次 發(fā)生，共有 種不同方式。

9、 , k=0,1,2,…,n 稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布（Binomial Distribution）。,,,解：不放回抽樣時(shí)，若抽的數(shù)量占總數(shù)量的份額很小，可看作有放回抽樣。設(shè)X表示抽查20只元件中一級(jí)品的只數(shù)，則X是一隨機(jī)變量，且X~b(20, 0.2)。由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式，得,例2 按規(guī)定，某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)

10、為一級(jí)品。已知某一大批產(chǎn)品中一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽查20只。問20只元件中恰有k（k=0,1,…,20）只為一級(jí)品的概率為多少？,解：設(shè)X表示在400次射擊中擊中的次數(shù)，則該隨機(jī)變量X~b(400, 0.02). 由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式，得 因此，至少擊中2次的概率為P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1

11、-(0.98)400-400*(0.02)*(0.98)399=0.9972.▲ 由小概率原理：幾乎每次都至少擊中2次； 不能輕視小概率事件。,例3 某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。,在二項(xiàng)分布中，若相對(duì)而言，n大，p小，而乘積大小適中，則二項(xiàng)分布中，諸概率有一個(gè)很好的近似公式。這個(gè)近似公式，就是泊松定

12、理。,（三） 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…, 而取各個(gè)值的概率為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的泊松分布，▲ 計(jì)算可得,,,,泊松分布的例子 一定時(shí)間內(nèi)，電話總站接錯(cuò)電話的次數(shù) 一定時(shí)間內(nèi)，超市排隊(duì)等候付款的顧客人數(shù) 一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生故障的次數(shù) 一個(gè)面包上，葡萄干的個(gè)數(shù),總的來看，

13、泊松分布總與計(jì)數(shù)過程相關(guān)，并且計(jì)數(shù)是在一定區(qū)域內(nèi)、一定時(shí)間內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的。,例：在500人組成的團(tuán)體中，恰有k個(gè)人的生日是在元旦的概率是多少？,解：每個(gè)人生日在元旦的概率為p=1/365. 該團(tuán)體中生日為元旦的人數(shù) X~b(500,1/365),分別計(jì)算k=0，1，2，3。。。的值即可,當(dāng)k的值多，且大時(shí)，計(jì)算困難！,泊松定理！,,二項(xiàng)分布與泊松近似的比較,,,定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F

14、(x)=P{X≤ x} 稱為X的分布函數(shù)。,§2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),對(duì)非離散型的隨機(jī)變量，取值不能一一列舉?？紤]其落入一個(gè)區(qū)間的概率。對(duì)任意x1, x2, 得： P{x1< X ≤ x2}= P{ X ≤ x2}- P{ X ≤ x1}=F(x2)-F(x1)分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 ··,分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上是對(duì)分布律的概念擴(kuò)展。,1．F

15、(x)是一個(gè)不減函數(shù)；,分布函數(shù)的性質(zhì):,3．右連續(xù)性：,2．有界性：0≤F(x)≤1，且 ，,★ 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù),例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,分析：X只在x= -1,2,3三點(diǎn)處概率不為0，而F(x)的值是 X≤x的累積概率值。,P{X≤1/2} = P{X=-1} =1/4P{2≤X≤3} = P{X=2}+ P{X=3} = 3/4,求X的分布函數(shù)，并求P{X≤1/2}和P{2≤X≤