[學習]天津大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量函數(shù)

1、§2.5 隨機變量的函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律,問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.,求截面面積 A = 的分布.,例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，,已知t=t0 時刻噪聲電壓 V的分布，,求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等.,這類問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,問題的一般提法,Ch2-3,方法 將與Y 有關的事件轉(zhuǎn)化

2、成 X 的事件,§2.4,求 隨機因變量Y= g ( X )的密度函數(shù) 或分布律,問題 已知 r.v. X 的d.f.,或分布律.,Ch2-4,設 r.v. X 的分布律為,由已知函數(shù) g( x)可求出 r.v. Y 的所有可能取值，則 Y 的概率分布為,離散型,1、一維離散型隨機變量函數(shù)的概率分布律,例1:已知,,,X,PX,-1 0 1,求：Y=2X的概率分布律,Y,

3、PY,-2 0 2,,,,,,,設隨機變量X的概率分布律為,求Y=2X2 +1的概率分布律。,解,例2,由題設可得如下表格,所以，y=2x2+1的概率分布律為,一般地,,,,,,,,例3：設隨機變量X的概率分布律為,解,解題過程,,,,,答案,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度,設隨機變量X的概率密度為 ，求隨機變量Y=g(X)(g連續(xù))的概率密度.,第一步 求出Y的分布函數(shù)

4、 的表達式 ；,第二步,1．一般方法——分布函數(shù)法,因為FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，設ly={x|g(x)≤y}則,第二步 由分布函數(shù)求概率密度.,第一步,解,例2,,,所以，,綜上得,推論,定理,正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布。,---------正態(tài)隨機變量的標準化,定理,2.公式法,證：只證g?(x)>0的情況。此時g(x)在(-∞,+ ∞)嚴格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)存在，且在(α，

5、β)嚴格單調(diào)增加，可導，現(xiàn)在先來求Y的分布函數(shù)FY(y)。,因為Y=g(X)在(α，β)取值，故當y≤α時， FY(y)=P{Y≤y}=0；,此定理的證明與前面的解題思路類似.,當y≥β時， FY(y)=P{Y≤y}=1；,當α<y<β時， FY(y)=P{Y≤y},＝P{g(x)≤y},=P{X≤h(y)},于是得Y的概率密度,合并兩式，即得證。 若?(x)在有限區(qū)間[a，b]以外等于

6、零，則只需假設在[a，b]上恒有g?(x)>0(或恒有g?(x)<0)，此時,若g?(x)<0, 同理可證,若g(x)不是單調(diào)函數(shù)不能用此定理.,公式注釋,注：1 ）只有當g(x)是x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的概率密度函數(shù)。 2） 注意定義域的選擇。,,,,,例7.設X?U(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當y<0時,當0≤y<1時,當y≥1時,,,,,,,,