集值映射的極小極大定理

1、集值映射的極小極大定理?胡金海李聲杰(重慶大學數(shù)理學院重慶400044)摘?要?本文利用一類非線性標量化函數(shù)的性質(zhì)證明了關(guān)于集值映射的極小極大定理并給出具體例子驗證了定理的結(jié)論.關(guān)鍵詞?非線性標量化函數(shù)極小極大定理集值映射中圖分類號?O224?????????文獻標識碼?A1.?引?言向量值映射和集值映射的極小極大問題在博弈論、數(shù)量經(jīng)濟學、控制論等諸多領(lǐng)域有廣泛的應用.到目前為止已有很多文獻研究了向量值函數(shù)的極小極大問題(參見文獻[12

2、34567])文獻[4]證明了線性向量值映射的極小極大定理文獻[6]證明了可分離向量值函數(shù)的極小極大定理.在設(shè)函數(shù)為凸函數(shù)并假設(shè)相關(guān)的極大或極小集合縮為單點的條件下文獻[2]研究了向量值函數(shù)的極小極大問題.值得注意的是集值分析的問題引起了越來越多的關(guān)注但對集值映射的極小極大問題卻少有人研究.文獻[8]確定并證明了兩個集值映射的極小極大定理文獻[9]運用文獻[10]中定義的非線性標量化函數(shù)研究了兩個集值映射的極小極大不等式.應用文獻[9]

3、中的思想我們將在本文中研究一類新的非線性標量化函數(shù)(見文獻[11])的性質(zhì)并利用這些性質(zhì)來研究集值映射的極小極大定理從而得到了與文獻[9]的結(jié)論中不同的包含關(guān)系.2.?預備知識假設(shè)XZ和V為實Hausdff拓撲向量空間S?V是一個閉凸點錐并且滿足intS??V為V的拓撲對偶空間.設(shè)F:X2V是一個集值映射如果對于F(x0)的任一個領(lǐng)域N(F(x0))存在x0的領(lǐng)域N(x0)使對任意x!N(x0)都有F(x)?N(F(x0))成立則稱映射

4、F在點x0!X是上半連續(xù)的如果對任意的序列xn!X使得xnx0并且對任意的y0!F(x0)存在一個序列yn!F(xn)使得yny0則稱映射F在點x0!X是下半連續(xù)的如果F在點x0!X既上半連續(xù)又下半連續(xù)則稱F在x0點連續(xù).設(shè)A?V是非空子集如果A?(yS)=y(A?(yintS)=?)則稱點y!A為A的?基金項目:國家自然科學基金資助項目(No.60574073)和重慶市科委自然科學基金計劃資助項目(CSTC2007BB6117)收稿日

5、期:20080402.第25卷第3期2008年9月經(jīng)?濟?數(shù)?學MATHEMATICSINECONOMICSVol.25?No.3Sep.?2008(((()#z!Z0F(%z)是在X0上是真S擬凹的()存在z0!Z0使得Maxw#x!X0F(xz0)?Maxw#x!X0F(xz)S#z!Z0(?)#u!X0存在v!Z0使得maxhka(F(uv))!max#x!X0min#z!Z0hka(F(xz)).則有Maxw#x!X0F(xz0

6、)?Max#x!X0Minw#z!Z0F(xz)S.(1)())如果對#z!Z0有Min#z!Z0Maxw#x!X0F(xz)?Maxw#x!X0F(xz)S則Min#z!Z0Maxw#x!X0F(xz)?Max#x!X0Minw#z!Z0F(xz)S.(2)??證明?設(shè)?(x)=Minw#z!Z0F(xz)x!X0假設(shè)!V并且%?(X0)S此時?(X0)?(S)=?于是由定理3?1()知hka(!)0#!!?(X0).(3)考慮集值映

7、射H(%%)=hka(F(%%)):X0?Z02R.由定理2?1可得min#z!Z0max#x!X0H(xz)=max#x!X0min#z!Z0H(xz).(4)由定理3?1知hka(%)是連續(xù)的結(jié)合F(x%)是連續(xù)性及文獻[13]的第三章命題6我們有H(x%)=hka(F(x%))是上半連續(xù)的.由hka(%)的連續(xù)性得H(x%)也是下半連續(xù)的.由Z0緊?zx!Z0yx!F(xzx)使得hka(yx)=min#z!Z0hka(F(xz)