構造全等三角形種常用方法

1、構造全等三角形種常用方法構造全等三角形種常用方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應用時要養(yǎng)成先找邊的習慣。如果選擇找到了一組對應邊，再找第二組條件，若找到一組對應邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應邊用“SAS”；若是判定兩個

2、直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：()()()()SSSSSASASSSSASAAAASASA?????????????用用用用或搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了下面舉例說明幾種常見的構造方法，供同學們參考1截長補短法截長補短法例1如圖（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，求證：ABBE=AC解法

3、（一）（補短法或補全法解法（一）（補短法或補全法）延長AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45，∴BF=BE，∴ABBE=ABBF=AF=AC解法（二）（截長法或分割法解法（二）（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE∠AGE=∠ABE∵∠ACE=45∴CG=EG∴ABBE=AGCG=AC2平行線法（或平移法）平行線法（或平移法）若題設中含有中點可以試過中點作平行線或

4、中位線，對若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt△有時可作出斜邊的中線有時可作出斜邊的中線例2△ABC中，∠BAC=60，∠C=40AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：ABBP=BQAQ證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180－60－40=80，又∵∠AQO=∠C∠QBC=80，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD

5、=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，∴ABBP=ADDBBP=AQOQBO=AQBQ說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長補短法”⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來解決②如圖（3），過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO

6、≌△AEO來解決ABCPQDOOABCPQD圖（2）ABCPQDE圖（3）OABCDFEG圖（1）練習：例3已知：如圖（6），P為△ABC內一點，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)分析：直接求∠APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構造直角三角形略解：將△BAP繞A點逆時針方向旋轉60至△ACD，連接PD，則△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60，又∵PC=5，PDDC=P

7、C圖（6）222∴△PDC為Rt△∠PDC=90∴∠APB=∠ADC=∠ADP∠PDC=6090=150１、平移法構造全等三角形１、平移法構造全等三角形例１例１如圖１所示，四邊形中，平分，若，，求證：ABCDACDAB?ABAD?DCBC?。180BD?????分析分析：利用角平分線構造三角形，將轉移到，而與互補，D?AEC?AEC?CEB?，從而證得。主要方法是：“線、角進行轉移”。CEBB???180BD?????證明證明：在上截取

8、，ABAEAD?在與中，ADC?AEC?ADAEDACEACACAC??????????∴≌（SAS）ADC?AEC?∴DAEC???DCCE?∵DCBC?∴，CEBC?∴CEBB???∵180CEBAEC?????∴.180BD?????２、翻折法構造全等三角形２、翻折法構造全等三角形例２例２如圖２所示，已知中，，，平分，求證：ABC?ACBC?90ACB???BDABC?。ABBCCD??證明證明：∵平分，將沿翻折后，點落在上的點，