高等數(shù)學(xué)中極限問(wèn)題的解法詳析

1、數(shù)學(xué)分析中極限的求法摘要:本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限4：利用單側(cè)極限求極限，5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限6：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限7：利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限9：利用中值定理求極限10：利用洛必達(dá)法則求極限11：利用定積分求和式的極限12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限13：利用泰勒展開(kāi)式求極限14：利用換元法求極

2、限。關(guān)鍵詞:夾逼準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則無(wú)窮小量的性質(zhì)洛必達(dá)法則中值定理定積分泰勒展開(kāi)式級(jí)數(shù)收斂的必要條件.極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來(lái)表述，都可以用極限來(lái)描述。如函數(shù)y＝f(x)在0xx?處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來(lái)定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存

3、在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問(wèn)題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。(1)夾逼準(zhǔn)則：若一正整數(shù)N當(dāng)nN時(shí)，有nx?ny?nz且limlimnnxxxza??????則有l(wèi)imnxya???.利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從nx的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列??ny和??nz，使得nnnyxz??。例[1]222111.......12nxnnnn??????

4、求nx的極限解：因?yàn)閚x單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)則2lla??.因?yàn)?ny?解方程得1412al???所以141lim2nnayl??????2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或積或差。2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先對(duì)函數(shù)施行各種恒等變形。例如分

5、之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡(jiǎn)；化無(wú)窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。例；求極限(1)2211lim21xxxx????(2)312lim3xxx????(3)3113lim()11xxx?????(4)已知1111223(1)nxnn??????????求limnnx??解：(1)2211lim21xxxx????＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx?????＝11lim21xx