高鐵振動問題中一類二次特征值問題結(jié)構(gòu)開發(fā)的數(shù)值方法.pdf

1、二次特征值問題在科學(xué)和工程的許多領(lǐng)域有豐富的應(yīng)用，如汽車制動系統(tǒng)中的有限元系統(tǒng)，地震工程，保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和非保守結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析，以及最小二乘問題等.
　　在高速列車的振動問題研究中，我們會遇到一類非常特殊的回文對稱二次特征值問題(λ2AT+λQ+A)z=0，
　　其中A，Q∈Cn×n，QT=Q，Q為塊三對角陣且為塊Toeplitz矩陣，矩陣A僅在右上角有一個非零塊.
　　經(jīng)過簡單的研究我們知道，這個二次特征值問題的解有兩個

2、特點:
　　一.除了0和∞特征值，其余特征值是成對出現(xiàn)的，即如果λ是它的特征值，那么1/λ也是它的特征值.
　　二.大多數(shù)特征值是0和∞;
　　對這種有特殊結(jié)構(gòu)和稀疏的回文二次特征值問題，如果使用傳統(tǒng)的線性化方法.那么，在線性化過程中，我們需要先把二次特征值問題轉(zhuǎn)化為一個兩倍大的線性特征值問題，然后設(shè)法消除0和∞特征值.然而，在消去過程中，我們將會遇到一些十分病態(tài)的矩陣的求逆問題，使這個消除過程產(chǎn)生非常大的誤差;由于Q

3、和A本身都是階數(shù)非常大的矩陣，這個過程中需要的計算量也是相當?shù)拇?此外，對于高速列車的振動問題這種有特殊結(jié)構(gòu)和稀疏的回文二次特征值問題而言，特征值以λ和1/λ形式成對出現(xiàn)的性質(zhì)也會遭到破壞.
　　為了解決這些問題，一種稱為預(yù)解的方法(solvent approach)，可以在保持原問題解的結(jié)構(gòu)性的前提下，將原問題轉(zhuǎn)化為一個先求預(yù)解方程X+ATX-1A=Q穩(wěn)定解（特征值小于1的解），然后求解一個線性特征值問題的問題.
　　為了

4、求預(yù)解方程X+ATX-1A=Q穩(wěn)定解，目前較好的辦法是保結(jié)構(gòu)加倍算法（doubling算法）.但由于系數(shù)矩陣Q和A階數(shù)非常大，Q非常特殊，并且A很稀疏，因此，如何充分利用這些特殊結(jié)構(gòu)設(shè)計或改進已有算法，是數(shù)值解這個特殊的回文特征值問題的最大關(guān)鍵.
　　本文的主要貢獻是，通過分析Q和A的稀疏性和特殊結(jié)構(gòu)，我們首先發(fā)現(xiàn):預(yù)解方程X+ATX-1A=Q的解X和右邊的Q僅相差右下角一小塊.這樣，我們可以先將求大型非線性方程X+ATX-1A=