《風(fēng)險理論》第1章_效用理論與保險

1、風(fēng)險理論,教材： R.卡爾斯，M.胡法茲等《現(xiàn)代精算風(fēng)險理論》，科學(xué)出版社，2005.參考書： 吳嵐，王燕:《風(fēng)險理論》，財經(jīng)出版社，2006 肖爭艷:《風(fēng)險理論》，人大，2008 鄒公明，范興華：《風(fēng)險理論》，上海財大，2006,風(fēng)險理論與保險精算概述,《風(fēng)險理論》--準(zhǔn)精算師考試科目,一、風(fēng)險的概念,人們習(xí)慣用“風(fēng)險”這個詞來表達(dá)可能發(fā)生的不利事件和各種災(zāi)害。但是由于所面對的具體問題和環(huán)境的不同，每個人對風(fēng)險這個概念

2、的理解和描述也各不相同。風(fēng)險是“無法預(yù)知”或“未卜先知”的。,討論題,根據(jù)自身經(jīng)歷，對風(fēng)險進(jìn)行描述；2. 試想，如果人類能具備預(yù)知未來的能力，世界會是什么樣子？我們的生活又會是什么樣子？,二、風(fēng)險的三要素,風(fēng)險與三個因素直接有關(guān)：自然狀態(tài)的不確定性（人們不能預(yù)知的或無法控制的自然狀態(tài)—風(fēng)險的客觀或外部原因）；人的主觀行為的不確定性（當(dāng)事人或決策者的行為—風(fēng)險的主觀或內(nèi)部原因）；兩者結(jié)合所蘊(yùn)涵的潛在后果。,三、風(fēng)險的保險學(xué)定

3、義,在保險學(xué)中，風(fēng)險由兩部分構(gòu)成：潛在不利后果的嚴(yán)重程度如何；發(fā)生不利后果的可能性多大。風(fēng)險被簡單地定義為“潛在損失的概率”。,四、保險業(yè)務(wù)分類壽險：以被保險人的生命為標(biāo)的，以生死為事故。 壽險的保險期相對較長，損失分布的規(guī)律（生命表）也比較穩(wěn)定。非壽險：除了壽險以外的一切保險業(yè)務(wù)，如財物險、車輛險等。 非壽險多為短期保險，損失情況五花八門，損失分布規(guī)律也比較復(fù)雜。,五、保險精算的基本問題,精算學(xué)以現(xiàn)代數(shù)學(xué)

4、和統(tǒng)計學(xué)為基礎(chǔ), 對保險經(jīng)營中的某些問題進(jìn)行定量化的分析和研究, 為保險公司進(jìn)行科學(xué)決策和提高管理水平提供依據(jù)和方法。 精算師要解決的幾個基本問題：（1）保費(fèi)設(shè)計；（2）準(zhǔn)備金評估；（3）再保險設(shè)計；（4）資產(chǎn)負(fù)債與償付能力管理。,中國精算師資格考試,中國精算師資格考試分為兩個層次，第一層次為準(zhǔn)精算師資格考試，第二層次為精算師資格考試。準(zhǔn)精算師考試目的在于考察考生對保險精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保險精算實(shí)務(wù)，考

5、試課程共設(shè)9門，均為必考課程。,準(zhǔn)精算師資格考試科目,01數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Ⅰ）：微積分、線性代數(shù)、運(yùn)籌學(xué)02數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Ⅱ）：概率論、數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用統(tǒng)計03復(fù)利數(shù)學(xué)04壽險精算數(shù)學(xué)05風(fēng)險理論：損失分布、風(fēng)險模型、效用理論06生命表基礎(chǔ)07壽險精算實(shí)務(wù)08非壽險精算數(shù)學(xué)與實(shí)務(wù)09綜合經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ),課程內(nèi)容,第一章 效用理論與保險第二章 個體風(fēng)險模型第三章 聚合風(fēng)險模型第四章 破產(chǎn)理論第五章 保費(fèi)原理,第一章 效用理論與保險,

6、§1.1 引言,本書第二至第四章討論的個體風(fēng)險模型、聚合風(fēng)險模型和破產(chǎn)理論，無疑是分析和解決保險公司經(jīng)營管理中諸多關(guān)鍵問題如產(chǎn)品定價、準(zhǔn)備金提留、再保險自留額安排等問題的基礎(chǔ)。然而這些討論都是基于對理賠風(fēng)險的正確把握進(jìn)行的，這僅是問題的一個方面。 本章是從另外的角度，也就是從決策者的主觀角度來討論風(fēng)險決策問題，具體是從保險人或被保險人的偏好出發(fā)討論他們的風(fēng)險態(tài)度。并用效用函數(shù)作為描述和度量決策者偏好和

7、風(fēng)險態(tài)度的工具。,效用理論的幾個基本假設(shè),風(fēng)險態(tài)度：對待風(fēng)險的態(tài)度可以分為三種：風(fēng)險厭惡、風(fēng)險偏好和風(fēng)險中性。,例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的機(jī)會得到10000元錢，99.9%的機(jī)會什么也得不到。B：100%的機(jī)會得到10元。選擇A？或B？,選擇A：偏好風(fēng)險；選擇B ：厭惡風(fēng)險,例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的失去10000元錢，99.9%的機(jī)會不損失。B：100%的機(jī)會失去10元。選擇A？或B？,選擇B：

8、厭惡風(fēng)險選擇A ：偏好風(fēng)險,§1.2 期望效用模型,如果B 非常小，那么P幾乎不會大于0.01B；如果B略微大一點(diǎn)，如500，那么P就可能比5 稍大一些；如果B 非常大，那么P 就會比0.01B大很多。,結(jié)論：因?yàn)檫@么大的損失一但發(fā)生可能導(dǎo)致破產(chǎn)，因此可以付出比期望值高的費(fèi)用為風(fēng)險投保。,邊際效用遞減原理,,效用的概念是丹尼爾.伯努利在解釋圣彼得堡悖論時提出來的主要包括兩條原理：邊際效用遞減原理和最大期望效用原理。邊際

9、效用遞減原理：個人對所追求的商品和財富的滿足程度由其效用值衡量，且隨著其商品和財富的絕對數(shù)量的增加而增加，但增加的速率卻隨著其絕對數(shù)量的增加而逐漸降低。討論題：舉例說明上述原理的正確性。,邊際效用原理的主要涵義,最大期望效用原理,,,效用函數(shù)的確定,人們在做某個決策時，不自覺地使用這效益函數(shù)，因此效用函數(shù)是客觀存在的，但卻很難給出一個明確的解析式?？梢韵驔Q策人提出大量的問題，通過他們對這些問題的回答來決定該決策人的效用函數(shù)。如“

10、為了避免以概率q損失1個單位貨幣，你愿意支付多少保費(fèi)P？”,效用函數(shù)的基本特征,,Jensen不等式的證明,根據(jù)Jensen 不等式確定保費(fèi),（1）被保險人方面：,（2）保險人方面：,成交！,,,在后面式子的兩邊同時取期望，得到,因此，風(fēng)險X 的最大保費(fèi)　　近似為,,,使用風(fēng)險厭惡系數(shù) ，則對風(fēng)險X 所需最大保費(fèi)　　近似為由上式可見，均值-方差保費(fèi)原理是合理的。,,將（1.13）與（1.14）代入（1.10），得到,,,,注意

11、到　　 用　　　　替換時，　 并沒有改變。從（1.18），我們可以看到風(fēng)險厭惡系數(shù)真正反映了風(fēng)險厭惡的程度：對風(fēng)險厭惡程度越高，需要支付的保費(fèi)也越大。,§1.3 效用函數(shù)族,線性效用函數(shù)的風(fēng)險厭惡系數(shù)是 0；指數(shù)效用函數(shù)的風(fēng)險厭惡系數(shù)是 ；其它效用函數(shù)的風(fēng)險厭惡系數(shù)均可表示為 。,,,,,-,,,把 代入均衡方程（1.11）得,其中

12、 是X 的矩母函數(shù)， 代表風(fēng)險厭惡系數(shù)。指數(shù)保費(fèi)隨著 增加而增加，而與保險人當(dāng)前的財富無關(guān)。更有意義的是， 被保險人的最大保費(fèi) 的表達(dá)同 ，但是其使用的參數(shù) 會有所不同。,,矩母函數(shù),一、定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，如果以下數(shù)學(xué)期望存在，則稱它為X的矩母函數(shù)，記為 。二、矩母函數(shù)的性質(zhì)（1）若隨機(jī)變量X的各階中心矩 存在，則（2）隨機(jī)變量

13、的期望值與方差和矩母函數(shù)具有下列關(guān)系上式中 稱為累積量母函數(shù)。（3）如果隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則,常用分布的矩母函數(shù),,,,,,如果被保險人的效用函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，則最大保費(fèi)為,例：假設(shè)損失X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布， 令 ，則,,,,,,因此被保險人愿意在純保費(fèi) 之上附加相當(dāng)數(shù)量的額外保費(fèi)。,138.6>100（均值）,由

14、例1.2.4中的近似公式(1.18)得,顯然，近似表達(dá)式(1.22)隨 遞增。 如果X 是方差有限的非負(fù)隨機(jī)變量，則(1.20)所決定的保費(fèi)也是隨 遞增的，具體證明如下。令,,由Jensen 不等式知,,取 則 且,,,對任意 ，通過對上述不等式兩邊取對數(shù)，得,,由此證明，指數(shù)保費(fèi)隨著厭惡系數(shù)的增加而增加。特別地，在

15、 和 兩個極端情況，有,,由方程(1.10)，發(fā)生損失X 之后的期望效用為,以及支付保費(fèi)P之后的效用為,,根據(jù)（1.10），（1.28）與（1.29）右端應(yīng)當(dāng)相等，由此求得最大保費(fèi)為：,容易驗(yàn)證， ，故保費(fèi)將隨著財富的增加，且 。,例1.3.3（不可保的風(fēng)險） 某決策者使用風(fēng)險厭惡系數(shù)為 的指數(shù)效用函數(shù)，他想對分布為 的

16、風(fēng)險進(jìn)行投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布．確定 并證明 ，何時 ，此時說明了什么？,,,,,,分布 的矩母函數(shù)為 ，,因?yàn)?, 我們有 .因而 所以，計算出的保費(fèi)大于純保費(fèi)。如果

17、 ，則 ，這表明決策者愿意支付任何有限的保費(fèi)。按照效用理論，如果風(fēng)險厭惡系數(shù)為 ，那么承保該風(fēng)險的保險人對于任何有限的保費(fèi)P，都會遭受損失，因?yàn)?。對于保險人來說，這種風(fēng)險是不可保的。,,,,,,,,Allais悖論,考慮下面可能的資本收益很多人會選擇X,其實(shí) ，由此可見期望效益并不總能反映決策者的行為。完全沒有風(fēng)險的

18、狀態(tài)與期望效用指標(biāo)相比，對決策著可能更有吸引力。,§1.4 停止損失再保險的最優(yōu)性,再保險合同通常只承保保險人的一部分風(fēng)險。停止損失(再）保險承保損失超出指定免賠額 的超額部分。它的定義如下：如果發(fā)生的損失為X(我們假設(shè) ) ， 則理賠支付 為,,對于停止損失保險，其純保費(fèi)為 ，稱為停止損失保費(fèi)，記為,,在離散情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為

19、 ；在連續(xù)情形， 有導(dǎo)函數(shù) 兩種情形下的停止損失保費(fèi)都可由下式給出,,,,,現(xiàn)在的問題是：對于保險人來說，應(yīng)該對損失X設(shè)置多大的免賠額d？在再保險問題上，就是保險人應(yīng)該預(yù)留多大的自留額？這是再保險的一個核心問題。,免賠額（自留額）的確定,定理：（停止損失再保險期望效用最大）若風(fēng)險厭惡型的投保人愿意付出的保費(fèi)為P，則對他而言，具有最大期望效用的保險形式是停止損失再保險，當(dāng)免賠額 滿足下列方程時，

20、則有,證明：由于投保人是風(fēng)險厭惡型的， ，因此,上面最后一個不等式成立，可分三種情況討論：（1） ，不等式以等號成立；（2） ， ，不等式也以等號成立；（3） ， ，

21、 ， ，最后的不等式成立。,對前面的不等式兩側(cè)取數(shù)學(xué)期望，得,定理得證。,,,,,定理1.4.l （停止損失再保險的最優(yōu)性）用 記當(dāng)損失為 時，某再保險合同約定的理賠支付。假設(shè) 對于任意 成立,則,,,,,,證明: 記,因?yàn)?

22、 ，所以只需證明,,上式成立的一個充分條件是 以概率1 成立．當(dāng) 時， ． ，顯然成立；當(dāng) 時, 我們有 ，有,,,,,,停止損失保費(fèi)不僅使自留風(fēng)險的方差達(dá)到最小，而且還使被保險人的期望效用達(dá)到最大。,例1.4.2 （比例再保險的最優(yōu)性） 假設(shè)保險人收取保費(fèi)