17.2 第2課時 勾股定理的逆定理的應用-(6071)

1、第 2 課時 課時 勾股定理的逆定理的應用 勾股定理的逆定理的應用1．進一步理解勾股定理的逆定理；(重點)2．靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題．(難點)一、情境導入某港口位于東西方向的海岸線上，“遠望號”“海天號”兩艘輪船同時離開港口，各自沿一固定的方向航行，“遠望號”每小時航行 16 海里，“海天號”每小時航行 12 海里，它們離開港口 1 個半小時后相距 30 海里，如果知道“遠望號”沿東北方向航行，能知道“海天號”沿哪個方向航

2、行嗎？二、合作探究探究點：勾股定理的逆定理的應用【類型一】 運用勾股定理的逆定理求角度如圖，已知點 P 是等邊△ABC 內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．解析：將△BPC 繞點 B 逆時針旋轉60°得△BEA，連接 EP，判斷△APE 為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB 的度數(shù)．解：∵△ABC 為等邊三角形，∴BA＝BC.可將△BPC 繞點 B 逆時針旋轉 60°得△B

3、EA，連 EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE 為等邊三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE 為直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.方法總結：本題考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．解決問題的關鍵是根據(jù)題意構造△A

4、PE 為直角三角形．【類型二】 運用勾股定理的逆定理求邊長在△ABC 中，D 為 BC 邊上的點，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求 BD 的長．解析：根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△ACD 為直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在 Rt△ABD 中利用勾股定理可得出 BD 的長度．解：∵在△ADC 中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝

5、90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt△ADB 中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝ ＝5，∴BD 的長為 5. AB2－AD2方法總結：解題時可先通過勾股定理的逆定理證明一個三角形是直角三角形，然后再進行轉化，最后求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補角的兩個直角三角形的圖形中．【類型三】 勾股定理逆定理的實際應用如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn) AB＝DC＝8m

6、，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解析：把實際問題轉化成數(shù)學問題來解決，運用直角三角形的判別條件，驗證它是否為直角三角形．解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農民挖的不合格．方法總結：解答此類問題，一般是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)先運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是

7、直角三角形，然后再作進一步解答．【類型四】 運用勾股定理的逆定理解決方位角問題如圖，南北向 MN 為我國領海線，即 MN 以西為我國領海，以東為公海，上午 9 時 50 分，我國反走私 A 艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以 13 海里/時的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在 MN 線上巡邏的我國反走私艇 B 密切注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距離是 13 海里，A、B 兩艇的距離是 5 海里；反走私艇 B 測得距離 C 艇 12 海里，

8、若走私艇 C 的速度不變，最早會在什么時候進入我國領海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的時間，即可得出走私船何時能進入我國領海．解題的關鍵是得出走私船所走的路程，根據(jù)題意，CE 即為走私船所走的路程．由題意可知，△ABE 和△ABC 均為直角三角形，可分別解這兩個直角三角形即可得出．解：設 MN 與 AC 相交于 E，則∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC

9、 為直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，∴走私艇 C 進入我國領海的最短距離是 CE.由 S△ABC＝ AB·BC＝1212AC·BE，得 BE＝ 海里．由 CE2＋BE2＝6013122，得 CE＝ 海里，∴ ÷13＝1441314413144169≈0.85(小時)＝51(分鐘)，9 時 50 分＋51 分＝10 時 41 分．答：走私艇 C 最早在 10 時 41 分進入我國領海．

10、方法總結：用數(shù)學幾何知識解決實際問題的關鍵是建立合適的數(shù)學模型，注意提煉題干中的有效信息，并轉化成數(shù)學語言．三、板書設計1．利用勾股定理逆定理求角的度數(shù)2．利用勾股定理逆定理求線段的長3．利用勾股定理逆定理解決實際問題在本節(jié)課的教學活動中，盡量給學生充足的時間和空間，讓學生以平等的身份參與到學習活動中去，教師要幫助、指導學生進行實踐活動，這樣既鍛煉了學生的實踐、觀察能力，又在教學中滲透了人文和探究精神，體現(xiàn)了“數(shù)學源于生活、寓于生活、用