cauchy問(wèn)題解的存在唯一性定理的幾種證明

1、第 3 5 卷 第 2 期 2 0 1 4 年 3 月內(nèi)蒙 古 農(nóng) 業(yè) 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) J o u r n a l o fI n n e rMo n g o H aAg r i c u l t u r a lU n i v e r s i t yVo 】 ． 3 5No ． 2M8 r ． 2 0 1 4C a u c h y問(wèn)題解 的存在唯一性定理 的幾種證 明 馬 文斌 ，呂 雄 ，周 蘭鎖 ’( 內(nèi) 蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 呼 和浩

2、特 0 1 0 0 1 8 )摘要 ：本文運(yùn) 用微分 方程和泛 函分析 中的理論 ， 采取 不同方 法詳細(xì)證 明了 C a u c h y問(wèn)題解的存在唯一性定理關(guān)鍵詞 ： C a u c h y 問(wèn)題 ；存在性 ；唯一性 ；不動(dòng)點(diǎn)理論 中圖分類(lèi)號(hào) ： 0 1 7 5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 ： A文章編號(hào) ： 1 0 0 9— 3 5 7 5 ( 2 0 1 4 ) 0 2— 0 1 6 9— 0 8DIF F ERE NTPR OOFOFE XI

3、STE NCEAND UNI QUENE SST HE ORE M OFTHESOL U Tl ONF OR CAUCH Y PR OBL EM MA W e n —b i n， L V Xi o n g ， Z HOUL a n—S U O( C o l l e g eo fS c i e n c e ， I n n e rMo n g o l i aA g r i c u l t u r a lU n i v e r s

4、i t y， H u h h o t0 1 0 0 1 8 ， C h i n a )Ab s t r a c t ： I nt h i sp a p e r ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rCa u e h yp r o b l e m wa sp r o o v e db yu s i n gd i fe r e

5、n tme t h o d，t h r o u ht h e o r yo fd i fe r e n t i a le q u a t i o n sa n df u n c t i o n a l a n a l y s i s ．K e ywo r d s： c a u c h yp r o b l e m； e x i s t e n c e ； u n iq u e n e s s ； f i x e d—p o i n t

6、t he o r e m 在微分方程中， 有許多形式上很簡(jiǎn)單的， 如 R i c c a t i 方程u _ u_ L = x+ Y， 卻不能通過(guò)初等積分法求解 ， 這就產(chǎn) I 1 1 1生了一個(gè)問(wèn)題 ： 一個(gè)不能用初等積分法求解 的微分方程是否具有解 呢?換句話(huà)說(shuō) ， 給一個(gè)微分方程加個(gè)什么 條件可以有解?若有解 ， 它的 C a u c h y 問(wèn)題 ( 即初值問(wèn)題) 有多少解?這個(gè)問(wèn)題 的解決 ， 直接關(guān) 系著微分方程 的發(fā)展 ，

7、 而在 1 9世紀(jì)至 2 0世紀(jì) 中， 有一批像 C a u c h y ( 柯西 ) ， L i p s c h i t z ( 李普希茲 ) ， P i c a r d ( 皮卡爾 ) ， P e a n o( 佩亞諾 ) 等數(shù)學(xué)家 ， 不斷地深人研究 ， 執(zhí)著鉆研 ， 不懈努力 ， 一步步地解決 了這個(gè)問(wèn)題 ， 通過(guò)幾代人 的辛勤努 力 ， 逐漸形成并完善 了微分方程基本理論中的一些重要定理 ， 其中重要定理 ： 解的存在唯一性定

8、理 ， 就給出了C a u c h y問(wèn)題是否有解 的答案。本文將通過(guò)不 同的方法來(lái)證明解的存在性和唯一性。1預(yù)備知識(shí) 定 義1 ： 設(shè)函 數(shù)，在區(qū) 域R ：I x - x o I s 口 ，I Y - Y o I s 6 上有 定義， 如果 存在常數(shù)L > O ， 使對(duì)任 何(，) ， ( j c ， y) ∈ R 均滿(mǎn) 足不 等式l ，， y 1 ) - f ( x ， Y) I < L [ y I - Y 2 l ，

9、則 稱(chēng)f ( x ，) 在R關(guān)于Y 滿(mǎn)足L i p s c h i t z 條 件，稱(chēng) L 為 L i p s c h i t z 常數(shù) 十J l 窖 掐日 期： 2 0 1 3 — 1 1 — 1 5鏨釜j 貢 自： 內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目( N J Z Y I 2 0 7 9 ) ； 內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金( 2 0 1 0 M S 0 1 2 1 ) ； 2 0 1 3年內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目( J C

10、 ' 2 0 1 2 0 0 2 )作 者簡(jiǎn)介： 馬文斌 (一 ) ， 男， 講 ． 1 9 8 0師， 硬士， 主 受從 事微分方程及仿真的研究．· 通訊作者 ： E— m a i l ： z h o u l ~ o @1 2 ． 6 ． c 講 n第 2 期 馬文斌等：C a u c h y 問(wèn)題解的存在唯一性定理的幾種證明1 7 l1 ) 證 明 C a u c h y 問(wèn) 題 等 價(jià) 于 積 分 方 程j ，

11、 =+ 』 f ( x ， y ) d x ，∈ ，( 1 ． 1 )一 帕～ ?叫’，由 此 ， f ( x , t p ( x在上 連 續(xù) ， 從 而 可 積 ， 于 是 對(duì) 恒 等 式 叢 甓皇 廠(chǎng) (，∽ ) , xE I 積 分 ， 并 利 用 初 始 條 什 ， 得() =+ 』 f ( x ，() )，∈， 即=()∈) 是 積 分 方 程 的 解 。反 之 ， 設(shè)=∽∈ ， ) 是 方 程( 1 ． 1 ) 的 連 續(xù)

12、解 ， 即 有 恒 等 式() = j ， o + f f ( x ， e ( x ) ) d x ， xe I 。為f ( x , e p () ) 在上 連 續(xù) ， 故() =。 + J f ( x , e p () )，∈右 端 是 積 分 上 限 XE的 可 微 函 數(shù) ， 從 而() 在可微 ， 于 是 將() = j ， o + 』 f ( x ，∽) 毗∈ ， 兩 邊 對(duì)求 導(dǎo) ，y ( x o ) = Y o ，~ ]

13、l l g y = ( 】 f )∈ ， ) 是 C a u c h y問(wèn)題的解 。得恒等式 蘭 ／ (，() ) ，∈ ， ，并令 x = x o 得 縱 所以 ， 我們 只要 證明 積分 方程 ( 1 ． 1 ) 的 連 續(xù) 解在區(qū) 間， = 【 x o 一，+ ^ 】 上存 在唯 一。2 ) 構(gòu)造逐次近似函數(shù)序列 ( 1 ． 2 )【y o ( x ) =當(dāng) r l = 0 時(shí)，注意到 f ( x ， j ， 0 () )

14、是 上的連續(xù) 函數(shù)，所 以由 ( 1 ． 2 )知 =+，c∈ 。 在 ， 上 是 連 續(xù) 可 微 的 ， 而 且 滿(mǎn) 足 不 等 式 I y , ( x ) - y o l廠(chǎng) cl一I唧l ～f于 是在區(qū) 間， ~l y( x ) - y o IM h < - ba因此 ，f ( x ，() 在 上是連續(xù) 的，所以由式 ( 1 ． 2 )知 () =+ f 廠(chǎng) (，() ) ， ( j c ∈)在區(qū)間I 上是連續(xù)可微的，而且滿(mǎn)足