幾類微分-積分方程的求解與預(yù)處理技術(shù).pdf

1、在計(jì)算電磁學(xué)、流體力學(xué)、熱核反應(yīng)等眾多工程領(lǐng)域的研究中,都面臨著對(duì)一些復(fù)雜微分方程、積分方程模型的數(shù)值計(jì)算和模擬。數(shù)值求解這些模型一般都包括前期離散處理和后期迭代求解兩個(gè)過程。對(duì)于前期離散，有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法等已經(jīng)成為傳統(tǒng)的、最常用的工具，這些方法在計(jì)算和模擬許多實(shí)用模型時(shí)都取得了顯著的效果。然而，隨著科學(xué)技術(shù)的高度發(fā)展，對(duì)模型求解的精度、計(jì)算速度、所需內(nèi)存等的要求越來越高，這使得在各種模型和邊界條件下改進(jìn)、發(fā)展上

2、述各種數(shù)值方法依然是科學(xué)計(jì)算研究的重要課題。對(duì)于前期離散所得的代數(shù)方程組，特別是大型稀疏線性方程組，經(jīng)典的方法之一就是Krylov子空間迭代法，此類方法以其穩(wěn)定、節(jié)省計(jì)算內(nèi)存而一直受到數(shù)值代數(shù)工作者的青睞。但是，眾所周知的是，對(duì)于大型線性方程組，使用Krylov子空間方法進(jìn)行迭代求解時(shí)，要求該線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣具有良好的特征值或者奇異值分布。因此,在耗費(fèi)相對(duì)較少的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存的條件下,如何有效地調(diào)節(jié)系數(shù)矩陣的特征值、奇異值，即對(duì)矩陣進(jìn)

3、行預(yù)處理，就成了計(jì)算中非常重要的一環(huán)。綜合前期離散、后期迭代求解來看，構(gòu)造高效、實(shí)用的數(shù)值離散方法，提出優(yōu)良的預(yù)處理子，以及設(shè)置快速、穩(wěn)定的子空間迭代方法就成了解決問題的重要要素。本文研究幾類微分、積分方程求解的數(shù)值方法和預(yù)處理技術(shù)，主要內(nèi)容如下：
　　1.通過對(duì)奇異積分算子進(jìn)行分裂，基于分片Lagrange基函數(shù)，對(duì)Airfoil積分方程提出了一種配置方法，從理論上分析了該方法的精度。對(duì)于離散所得的線性方程組，利用奇異算子的近似

4、逆算子，構(gòu)造了系數(shù)矩陣的一個(gè)塊三對(duì)角逆預(yù)處理子。實(shí)驗(yàn)顯示此預(yù)處理子在該Airfoil積分方程的非奇異項(xiàng)受到微小擾動(dòng)時(shí)，仍然具有很好的效果。
　　2.基于二次樣條基函數(shù)，對(duì)帶有Sommerfeld邊界條件的Helmholtz方程提出了配置法，實(shí)驗(yàn)顯示，此方法所導(dǎo)致的誤差函數(shù)及其1、2階導(dǎo)函數(shù)在配置點(diǎn)處都很接近于0。然后，通過對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)順序的調(diào)節(jié)，將所得線性系統(tǒng)等價(jià)地化為3×3的塊狀矩陣，其對(duì)角線元素都為塊三對(duì)角矩陣，再利用階梯型矩陣，

5、提出了一種塊狀多項(xiàng)式近似逆預(yù)處理子。此預(yù)處理子在計(jì)算機(jī)內(nèi)存和耗時(shí)方面都是比較少的，實(shí)驗(yàn)顯示，相比于普通的ILU預(yù)處理子，當(dāng)網(wǎng)格增加時(shí)，此預(yù)處理子所導(dǎo)致的迭代次數(shù)的增加量相對(duì)較小。
　　3.基于二次樣條基函數(shù)，對(duì)含時(shí)間分?jǐn)?shù)階的子擴(kuò)散方程構(gòu)造了配置法，分析了該方法的精度以及所得系數(shù)矩陣的特點(diǎn)。相比于傳統(tǒng)的差分法，該方法擺脫了分?jǐn)?shù)階β對(duì)精度的影響，達(dá)到了O(h4+τ4)的局部誤差和O(h3+τ3)的全局誤差。對(duì)于離散所得線性系統(tǒng)，基于算

6、子分裂的思想，提出了一種預(yù)處理子，實(shí)驗(yàn)顯示，該預(yù)處理子在分?jǐn)?shù)階β比較小時(shí)，是十分有效的。
　　4.對(duì)于用有限元方法離散Navier-Stokes方程后所得的廣義鞍點(diǎn)問題，利用Sherman-Morrison-Woodbury公式提出了一種分裂預(yù)處理子，理論分析和實(shí)驗(yàn)顯示，此預(yù)處理子對(duì)于廣義鞍點(diǎn)問題和鞍點(diǎn)問題均具有良好的效果。
　　5.對(duì)于數(shù)值求解優(yōu)化問題、非線性偏微分方程和特征值問題時(shí)所遇到的shifted線性系統(tǒng)(A+αI