幾類動力系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)行為研究.pdf

1、本篇論文主要研究兩個方面的問題，第一方面是針對分段仿射系統(tǒng)的同(異)宿軌道的存在性及其誘導(dǎo)的分岔和混沌現(xiàn)象的定性研究。分段光滑系統(tǒng)有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，得到越來越多學(xué)者的重視，但是分段光滑系統(tǒng)的理論體系還不完善，如高維分段光滑系統(tǒng)同(異)宿軌道存在的條件、周期解存在的條件、混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理等，因此本文的第一部分將致力于這些基本問題的研究。本文的第二方面將研究連續(xù)時間自治系統(tǒng)的一些復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象：主要是利用理論和數(shù)值計算相結(jié)合的方法，研究一

2、致雙曲混沌不變集和“胖分形”這兩類復(fù)雜動力學(xué)行為在三維自治系統(tǒng)中的存在性及其驗證方法。一致雙曲混沌不變集在微分同胚中常常被發(fā)現(xiàn)，比如Smale馬蹄、Anosov環(huán)面同構(gòu)等，而“胖分形”這一有趣的動力學(xué)現(xiàn)象也能在一些保守微分同胚映射中出現(xiàn)，比如“Chirikov-Taylor標(biāo)準(zhǔn)映射”等，但是針對三維自治常微分方程，這兩種動力學(xué)現(xiàn)象卻極少被發(fā)現(xiàn)，本文的第二部分將致力于這兩類動力學(xué)行為在自治常微分方程中的尋找和驗證。本論文的結(jié)果如下：

3、>　　(1)針對含至少一個鞍點(diǎn)的三維分段仿射系統(tǒng)，利用平面線性系統(tǒng)軌線與定直線之間的位置關(guān)系以及鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形、不穩(wěn)定流形與切換流形之間的空間位置關(guān)系，給出該系統(tǒng)同宿軌道存在性的一個簡潔的向量式的充分必要條件。同時針對含一條同宿軌的分段仿射系統(tǒng)，研究了同宿分叉現(xiàn)象，給出分岔出周期解的特征值條件，并給出周期解為匯、源、或鞍型的充分條件，從而將Wiggins關(guān)于光滑系統(tǒng)同宿分岔的部分結(jié)論推廣到分段光滑系統(tǒng)中，且得到了一些不盡相同的結(jié)果。

4、r>　　(2)研究了一類含兩個容許鞍點(diǎn)的分段仿射系統(tǒng)三種類型異宿環(huán)和混沌不變集的存在性。利用平面線性系統(tǒng)軌線與定直線之間的位置關(guān)系給出了該分段仿射系統(tǒng)的三類異宿軌道存在的充分條件及其解析證明。進(jìn)一步，將異宿環(huán)的存在性結(jié)果與Shil’nikov混沌理論相結(jié)合，分別給出了兩類不同的分段仿射系統(tǒng)擁有無窮混沌不變集的充分條件，并利用拓?fù)漶R蹄理論給出了混沌不變集存在的解析證明。本部分的部分結(jié)果可看成是Shil’nikov的混沌理論在分段光滑系統(tǒng)上

5、的推廣。
　　(3)針對生態(tài)學(xué)中經(jīng)典的HP-模型(該模型由Hastings和Powell在1991年根據(jù)實際提出)，綜合利用拓?fù)漶R蹄理論和Conley-Morse條件，并結(jié)合數(shù)值計算，研究該模型的混沌不變集的存在性及其一致雙曲性，并最終獲得該系統(tǒng)存在一個一致雙曲的混沌不變集。從而為三維自治系統(tǒng)存在一致雙曲混沌不變集提供了一個實例。根據(jù)Conley-Morse條件設(shè)計的驗證不變集雙曲性的計算方法可推廣到其它模型中。
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