2m階微分方程Neumann邊值問題的解.pdf

1、在本文中，我們將研究如下2m階微分方程Neumann邊值問題解的存在性和多解性:｛Lu=f(t，u)，t∈[0，1]，(1.1)u(2i+1)(0)=u（2i+1）(1)，i=0，1，…，m-1，其中Lu=(-1)mu(2m)+∑mi=1（-1）m-iaiu（2（m-i））為2m階線性微分算子，ai∈R1，i=1,2,…,m,f∈C1([0,1]×R1,R1).
　　本文包括三章:第一章為引言，第二章將給出證明主要結(jié)論所需的預備知

2、識及一些必要的引理和定理，第三章我們給出了當f滿足一定條件時，邊值問題(1.1)的解，多解的存在性結(jié)果，并給出證明.
　　在[1]中，作者運用強單調(diào)映像原理和臨界點理論，得到邊值問題(1.1)的各種解的存在性結(jié)果.在[2]中，作者通過不動點指數(shù)理論和Morse理論研究了四階Neumann邊值問題正解和變號解的存在性和多解性.同時文[3]通過運用Morse理論，臨界點理論，不動點指數(shù)理論和Leggett-Williams三解定理研究

3、了帶兩個參數(shù)和變系數(shù)的四階Neumann邊值問題.此外，在[4]的啟發(fā)下，也出現(xiàn)了應用環(huán)繞定理和臨界點理論研究高階含參微分方程Neumann邊值問題解的存在性的文章.在此基礎(chǔ)上，我們進一步研究邊值問題(1.1).
　　本文首先將Neumann邊值問題(1.1)轉(zhuǎn)化為積分方程，然后運用平方根算子和Morse理論，給f加上適當?shù)臈l件，給出邊值問題(1.1)解的存在性和多解性定理.與以往這方面的結(jié)果相比，定理3.1在較弱的條件下給出了邊

4、值問題(1.1)至少有一個非平凡解的結(jié)果，而定理3.2則在方法上作出改進，直接用Morse理論證明了問題(1.1)至少有一個非平凡解.定理3.3，定理3.4分別給出邊值問題(1.1)至少有三個解，至少有n對不同的解的結(jié)果，這都是新的結(jié)論.最后定理3.5也在與以往結(jié)果相比條件減弱的情況下，直接用Morse理論證明了問題(1.1)有無窮多個解.這些就是本文的創(chuàng)新之處.
　　我們將線性微分算子L的特征值｛p（k2π2）｝∞k=0按照從小

5、到大的順序進行排列，記為λ0＜λ1＜λ2＜…，其中p(x)=xm+m∑k=1aixm-i是微分算子L的特征多項式.在本文中假設(shè)下面的條件始終成立:(p0)p（k2π2）=（kπ）2m+∑mi=1ai（kπ）2（m-i)≠0，k∈N0:={0，1，2，…}.
　　下面我們對本文的主要結(jié)論闡述如下:
　　定理3.1假設(shè)f滿足條件
　　(f1)f(t,0)=0,t∈[0,1];
　　(f2) limx→0 F(t，x)

6、/x2＜（1-c）/2，t∈[0，1]一致成立，其中c＞-p(k2π2)，k∈N0，F(xiàn)(t，x)=∫x0f（t，y）dy;
　　(f3)存在μ∈(0，1/2)，R＞0，使得對t∈[0，1]，|x|≥R，都有0＜F(t，x)≤μxf(t，x)+（μ-1/2）cx2.則邊值問題(1.1)至少有一個非平凡解.
　　定理3.1的條件與[1，定理4.13，p.973]的條件相比，(f2)比(A2)減弱，而且更簡單.
　　定理3.

7、2假設(shè)f滿足條件(f1)，(f3)和
　　(f4)存在n∈N0，使得λn＜f'x(t,0）＜λn+1，t∈[0，1].則邊值問題(1.1)至少有一個非平凡解.
　　定理3.2直接用Morse理論給出證明，改進了以往采用已經(jīng)證明的結(jié)論進行間接證明的方法.
　　定理3.3假設(shè)f滿足(f1)，(f4)和
　　(f5)存在a，b∈R1且a＜λ0/2，使得F(t，x)≤ax2+b，(t，x)∈[0，1]×R1.則邊值問題(

8、1.1)至少有三個解.
　　定理3.4假設(shè)f滿足(f5)和
　?。╢6）f(t,-x)=-f(t,x),(t，x)∈[0,1]×R1;
　　(f7)存在ε＞0，使得F(t，x)≥((λn+ε)/2)x2，(t,x)∈[0，1]×[-δ，δ].則邊值問題(1.1)至少有n對不同的解.
　　定理3.5若f滿足(f3)和(f6)，則邊值問題(1.1)有無窮多個解.
　　與[1，定理4.14，p.974]的條件相比