解第一類不適定算子方程的多尺度快速算法.pdf

1、本文主要研究第一類不適定算子方程的多尺度算法.熟知，數(shù)學(xué)物理反問題大多是不適定的.關(guān)于不適定問題的解法，Tikhonov正則化方法是一種理論上最完備而在實(shí)踐上行之有效的方法.而Tikhonov正則化方法的核心問題之一是要選取合適的正則化參數(shù).當(dāng)采用某種偏差原理或誤差極小化原理決定正則化參數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行一個(gè)反復(fù)的迭代過程，每一輪迭代過程中都涉及到大量的計(jì)算.因此，針對(duì)確定正則化參數(shù)的策略以及如何快速求得正則化參數(shù)的快速算法，全文共分為四章

2、： 第一章是綜述部分，主要講述了不適定問題及第一類算子方程的一些性質(zhì)，以及正則化方法的理論與發(fā)展。 第二章敘述多層擴(kuò)充法的理論框架及其在第一類算子方程上的應(yīng)用.本章首先建立了多層擴(kuò)充法的一般格式，然后導(dǎo)出其在第一類算子方程上的特殊格式，還敘述了多層擴(kuò)充法關(guān)于第一類算子方程的離散格式，在使用離散偏差原則來確定正則化參數(shù)時(shí)，證明了算法可以達(dá)到原問題的最佳收斂階. 第三章主要是在求解偏差原則的過程中，使用多層迭代算法求

3、解方程.多層迭代算法的基本思想在于利用多尺度基底導(dǎo)出離散方程組，再利用相應(yīng)的矩陣分裂構(gòu)造快速計(jì)算格式.除了采用類似文獻(xiàn)的矩陣分裂，構(gòu)造了Jacobi型和Gauss-Seidel型的多層迭代格式，還采用了矩陣的高低頻分裂方式，構(gòu)造了一種新的多層迭代格式，并對(duì)格式的收斂性進(jìn)行了分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，多層迭代算法的速度非常快. 第四章研究了正則化參數(shù)的一種后驗(yàn)策略.在選取正則化參數(shù)的時(shí)候，一般的偏差原則要求最小范數(shù)解要滿足光滑性條件，即