中立型泛函微分方程的余維二分支研究.pdf

1、中立型泛函微分方程常常用來描述當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)變化率依賴于歷史時(shí)刻狀態(tài)變化率的發(fā)展系統(tǒng)。它在無損傳輸線路問題、生態(tài)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)中有諸多應(yīng)用,研究這類方程的余維二分支有助于揭示系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。本文主要應(yīng)用中心流形約化方法和多尺度方法研究中立型泛函微分方程的余維二分支,包括Bogdanov–Takens分支、Hopf–零分支和雙Hopf分支。
　　首先,將中心流形約化方法應(yīng)用于中立型泛函微分方程余維二分支的研究中,針對(duì)Bogdan

2、ov–Takens分支、Hopf–零分支和雙Hopf分支推導(dǎo)了分支點(diǎn)附近的規(guī)范型,并且得到了各余維二分支點(diǎn)附近的開折系統(tǒng)。應(yīng)用此方法,研究了中立項(xiàng)給食餌–捕食者系統(tǒng)帶來的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,包括Hopf分支、穩(wěn)定性開關(guān)等等,得到中立項(xiàng)在一定條件下會(huì)使平衡點(diǎn)穩(wěn)定范圍增大的結(jié)論;針對(duì)系統(tǒng)中出現(xiàn)的雙Hopf分支,通過分析分支點(diǎn)附近的規(guī)范型,得到開折系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)鞍點(diǎn)型二維環(huán)面上擬周期振動(dòng)的理論結(jié)果,并對(duì)原系統(tǒng)模擬出了暫態(tài)的擬周期現(xiàn)象。
　　其

3、次,研究了一類具擴(kuò)展時(shí)滯反饋控制的van der Pol方程的Bogdanov–Takens分支、Hopf–叉分支和雙Hopf分支。通過對(duì)特征方程根的分布分析,得到了在反饋增益和時(shí)滯兩個(gè)參數(shù)平面上的分支集和系統(tǒng)的穩(wěn)定域;通過研究Bogdanov–Takens分支點(diǎn)附近的普適開折,揭示出系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)同宿軌分支或者出現(xiàn)三個(gè)周期軌共存等現(xiàn)象;通過研究Hopf–叉分支,得到系統(tǒng)在一定參數(shù)下會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)共存的二維環(huán)面上擬周期軌的結(jié)果;通過研究雙Ho

4、pf分支的開折系統(tǒng),得到系統(tǒng)中存在穩(wěn)定的不變二維環(huán)面、三維環(huán)面和一個(gè)按照Ruelle–Takens–Newhouse模式產(chǎn)生的奇怪吸引子等結(jié)果。上述理論結(jié)果都在數(shù)值模擬中得到了印證。
　　最后,將多尺度方法推廣到中立型方程的分支分析中,并且應(yīng)用此方法推導(dǎo)出分支點(diǎn)附近的規(guī)范型。對(duì)中立型van der Pol方程的Hopf–叉分支和雙Hopf分支推導(dǎo)了規(guī)范型,得到與中心流形約化方法相同的結(jié)果。對(duì)中立型極限環(huán)振子方程的Hopf分支、雙H