具有較小絕對(duì)跡的全實(shí)正代數(shù)整數(shù)算法研究.pdf

1、設(shè)α為d次代數(shù)整數(shù)，它的極小多項(xiàng)式為P(χ)=χd+b1χd-1+…+bd-1χ+bd,其中bi∈Z,α1=α,α2,…,αd為α的所有共軛根.如果α的所有共軛根都是正實(shí)數(shù)，則稱α是全實(shí)正的.α的所有共軛根之和稱作α的跡，記作trace(α),即trace(α)=∑di=1αi,trace(α)/d稱作α的絕對(duì)跡.關(guān)于全實(shí)正代數(shù)整數(shù)的絕對(duì)跡，有著名的“Schur-Siegel-Smyth trace problem”[22]:
　

2、　給定ρ＜2,證明除了有限個(gè)以外，對(duì)于所有的全實(shí)正代數(shù)整數(shù)α,都有trace(α)/d＞ρ.
　　尋找具有較小絕對(duì)跡的全實(shí)正代數(shù)整數(shù)是研究上述問(wèn)題的重要手段之一.在本文的研究過(guò)程中，我們結(jié)合Chebyshev多項(xiàng)式構(gòu)造了一種新的輔助函數(shù)，對(duì)Sk的上下界進(jìn)行了優(yōu)化，其中Sk=∑di=1αki.我們因此獲得了更好的全實(shí)正代數(shù)整數(shù)對(duì)應(yīng)極小多項(xiàng)式P(χ)的系數(shù)的取值范圍，大大縮短了尋找全實(shí)正代數(shù)整數(shù)的計(jì)算時(shí)間.
　　結(jié)合上述方法的計(jì)