四階含兩個參數(shù)混合邊值問題解的存在性和多解性.pdf

1、文章主要討論下面四階含兩個參數(shù)混合邊值問題(BVP)解的存在性和多解性:{ u(4)(t)-au"(t)+bu(t)=f(t,u(t),t∈[0,1],u(0)=u'(1)=0，(1.1.1)u"(0)=u'''(1)=0，其中f:[0,1]×R→R是連續(xù)的，兩個參數(shù)a，b∈R滿足a2-4b≥0，a＞-π2/2,aπ2+4b+π4/4＞0.
　　近些年來，由于各種邊值問題在物理中的應(yīng)用，引起了大家的廣泛關(guān)注.很多文章研究了Neum

2、ann邊值問題[1-6，21]，周期邊值問題[7-12，26]以及Dirichlet邊值問題[13-20，22，23]解的存在性與多重性（如唯一解，非平凡解，正解，負(fù)解以及變號解）.但是人們對混合邊值問題研究的還不是很多，尤其是含參數(shù)的混合邊值問題.本文研究的正是含參數(shù)的混合邊值問題.
　　文章共由三章構(gòu)成，第一章研究的是四階含兩個參數(shù)混合邊值問題的變號解，我們運(yùn)用拓?fù)涠壤碚摵筒粍狱c(diǎn)指數(shù)理論得到了六個不同的解:兩個正解，兩個負(fù)解和

3、兩個變號解.第二章研究的是四階含兩個參數(shù)混合邊值問題的正解，運(yùn)用Leggett-Williams三解定理得到了三個正解.第三章研究的是四階含兩個參數(shù)混合邊值問題的非平凡解，通過運(yùn)用簡單的臨界點(diǎn)理論和Morse理論，得到三個不同的解.
　　下面我們介紹本文的主要結(jié)果:
　　定理1.3.1假如下列條件成立:
　　(H1)f(t，0)=0，t∈[0,1];當(dāng)u＞0時，f（t,u）＞0;當(dāng)u＜0時，f(t，u)＜0;
　

4、　(H2)limu→0f(t,u)/u=α，對t一致成立.存在n0，使得λ2n0＜α＜λ2n0+1，其中λn=(n-1/2)4π4+a(n-1/2)2π2+b，n=1，2，…;
　　(H3)1imu→∞f(t,u)/u=β，對t一致成立.存在n1，使得λ2n1＜α＜β2n1+1;
　　(H4)存在常數(shù)T＞0，使得|f(t,u)|≤MT,t∈[0,1]，|u|≤T,其中c0=min{√|a-√a2-4b/2|，|a-√a2-4

5、b/2|，1｝，M＜2c0.那么BVP(1.1.1)至少有六個不同的非平凡解:兩個正解，兩個負(fù)解和兩個變號解.
　　定理2.3.1若f:[0，1]×R+→R+是連續(xù)的，且滿足下列條件:
　　(H5)存在0＜d＜m，使得lim maxu→0t∈[0，1] f(t,u)/u＜1/D，uf(t，u）＞m/C，t∈[1/2，1]，u∈[m，m/σ].其中D=max t∈[0,1]∫10∫10 G1（t,s)G2(s,(τ))d(τ)

6、ds,C=min t∈[1/2,1]∫10∫11/2 G1(t,s)G2(s,(τ))d(τ)ds.
　　(H6)lim u→∞ maxt∈[0,1]f(t,u)/u＜1/D;
　　(H7)存在c＞m/σ，使得f(t，u)＜c/D，t∈[0，1]，u∈[0, c].則BVP(1.1.1)至少有三個非負(fù)解（其中兩個解為正解）.
　　定理3.3.1假設(shè)下列條件成立
　　(H8)存在α0，β0∈R且α0＜λ1/2，使得