時滯隨機系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題及應用.pdf

1、近些年來,人們逐漸認識到現(xiàn)實世界中的一些問題的發(fā)展不僅依賴于當前的狀態(tài),而且還依賴于其過去的歷史.這類問題應該用狀態(tài)對過去有依賴的系統(tǒng)方程來刻畫,我們稱之為隨機微分延遲方程(簡記為SDDE).由于其在工程、生命科學及金融等領域的廣泛應用,SDDE成為現(xiàn)代研究的熱點問題.本文將致力于在金融及其他領域中常見的受控的延遲系統(tǒng)的研究.
　　 對于一個系統(tǒng)而言,當觀測與調控之間有時間差或者控制有滯后性時就會出現(xiàn)系統(tǒng)延遲,我們稱之為時滯系統(tǒng)

2、.2000年,()ksendal和Sulem[47]研究了一類財富方程為SDDE的最優(yōu)控制問題.在他們的模型中,不僅當前值X(t)而且X(t-δ)及過去值在某種意義下的平均值都會影響t時刻財富的增長.由于所選模型的特殊性,他們能夠將無窮維問題化為有限維問題來處理,得到了問題的最大值原理,并將結果應用于金融中的相關問題.但是他們的條件,相對來說,是比較強的.
　　 在實際當中,觀測過去的數(shù)據(jù)可能是離散的有限個點,因此我們首先考慮當

3、前發(fā)展依賴于以往有限個點的系統(tǒng),而且控制也具有延遲性,這些延遲還可以是時變的.
　　 我們研究一類時滯系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,其中狀態(tài)及控制變量都有延遲.在相對比較一般的條件下,我們得到了這類受控的時滯系統(tǒng)的最大值原理.作為應用,我們用得到的結果處理了經濟當中一類帶有時滯的生產消費選擇問題,并得到了問題的顯示解.借助于數(shù)值計算,我們給出了不同的延遲時間對結果的影響情況.我們的主要創(chuàng)新在于引入新型的倒向隨機微分方程(簡稱BSDE)一超

4、前BSDE(參見Peng,Yang[55])作為伴隨方程來處理時滯最優(yōu)控制問題。據(jù)我們所知,這是首次采用這種方法來研究時滯控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.
　　 我們也考慮了具有時變延遲的正倒向系統(tǒng),即用遞歸效用函數(shù)代替一般的效用函數(shù)且延遲δ不在是常數(shù),而是時間t的函數(shù).這部分結果推廣了1995年Xu[65]中的結論.
　　 Hu,Peng[29],Peng,Wu[54]和Yong[69]等相繼研究了完全耦合的正倒向隨機微分方程

5、(簡稱FBSDE).在處理線性二次(LQ)問題(參見[62；67])和金融中的大戶投資問題(參見Cvitanic和Ma[15])時都會遇到這類方程.而我們在探索時滯系統(tǒng)的最大值原理問題時遇到了一類新型的FBSDE,其正向方程為時滯隨機微分方程,倒向方程為超前倒向隨機微分方程.我們稱其為推廣的FBSDE,并給出了這類新型FBSDE解的存在唯一性條件.
　　 早在1973年Kolmanovskii and Maizenberg就討論

6、了時滯隨機系統(tǒng)的LQ問題.我們在此基礎上考慮狀態(tài)與控制都有延遲的LQ問題,并且用FBSDE和值函數(shù)兩種方法來尋找最優(yōu)反饋控制.另外,我們也將關于推廣的FBSDE的結果應用于時滯線性二次非零和隨機微分對策問題.
　　 考慮一般情況,我們處理一類由隨機泛函微分方程(簡稱SFDE)刻畫的時滯系統(tǒng)的遞歸最優(yōu)控制問題,其中系統(tǒng)及遞歸效用函數(shù)的變動都依賴于過去的一段狀態(tài)而不僅僅是有限個點.對此類問題,我們證明了其值函數(shù)仍滿足Bellman型

7、的動態(tài)規(guī)劃原理.由于對過去狀態(tài)依賴形式的復雜性,完整形式的Ito公式和Dynkin公式都很難得到,故想進一步得到值函數(shù)滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程并不是件容易的事情.為此我們引入Mohammed[44]中提到的弱無窮小生成元及Fuhrman等[24]中用到的聯(lián)合二次變差作為工具,得到了上述問題值函數(shù)對應的一個無窮維的HJB方程.而且我們也證明了值函數(shù)就是這個無窮維偏微分方程的粘性解.
　　 最后,作為

8、理論的應用,我們考慮一類具有延遲效用的廣告問題即廣告費用支出與產生效果之間會有一定的時間差.Gozzi和Marinelli在[26]中用動態(tài)規(guī)劃原理的方法討論過這類問題.我們采用與他們不同的方法一無窮維最大值原理來處理這類問題,這種方法是由Hu和Peng[28]首次提出的.這部分結果也是我們論文2.3部分在無窮維空間中的一個推廣.
　　 本論文由5章內容組成,下面我們將列出主要結果.
　　 第1章:介紹第2章.第5章所要

9、研究的問題.
　　 第2章:我們研究狀態(tài)方程為如下形式的時滯系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題:
　　 首先我們給出此類SDDE解的存在唯-性.接著我們考慮控制域為凸集時的情形,得到了如下的最大值原理.
　　 定理2.2.6.令u(·)為時滯隨機最優(yōu)控制問題(2.3)-(2.5)的最優(yōu)控制,X(·)為其相應的最優(yōu)軌線.則我們有如下論斷:定義為:
　　 更進一步,我們可以得到如下的控制最優(yōu)的充分條件.
　　 定理2

10、.2.8.假設u(·)∈A,令X(·)為其相應的軌線,p(t)和z(i)為伴隨方程(2.12)的解.如果(H2.5)-(H2.6)及(2.13)(或(2.16))成立,則u(·)為時滯控制問題(2.3)-(2.5)的最優(yōu)解.
　　 利用得到的最大值原理,我們研究了一類時滯的生產消費選擇最優(yōu)化問題.生產資本x(t)滿足如下方程:問題是如何選取消費率c(t)最大化代價泛函
　　 下面的命題給出了最有控制問題的顯示解,而且從F

11、igure1和Figure2中我們可以看出不同的時間延遲對結果的影響情況.
　　 命題2.2.9.對生產消費選擇問題(2.17)-(2.18),
　　 接著,我們考慮了控制域非凸時的遞歸最優(yōu)控制問題.假設延遲是時變的,且擴散項σ不含控制,即系統(tǒng)由如下的時滯正倒向方程來描述:定理2.3.6.假設u(·)為最優(yōu)控制,(x(·),y(·),z(·))為其相應的最優(yōu)軌線.則對所有0≤t　　 第3章:我們考慮

12、時滯最優(yōu)化問題中遇到的一類推廣的FBSDE:
　　 定理3·1·3.若(H3.1)及(H3.2)成立,則推廣的FBSDE(3.1)有唯一適應解(X,Y,Z).
　　 我們研究了兩類時滯LQ問題,尋找它們的最優(yōu)控制的顯示形式.
　　 在問題3.1中,我們假設只有狀態(tài)有延遲.借助于FBSDE的結果,我們有
　　 定理3.2.1.控制
　　 為問題3.1的唯一最優(yōu)控制,其中(xt,yt,zt)為如下的推

13、廣的FBSDE的解
　　 第二種情況,即問題3.2,我們假設系統(tǒng)的狀態(tài)及控制都有延遲.通過一類更為復雜的FBSDE我們給出其最優(yōu)控制的形式.
　　 定理3.2.2.控制為問題3.2的唯一最優(yōu)控制,其中(x(t),y(t),z(t))為推廣的FBSDE(3.14)的解.
　　 我們引入兩種方法來尋找最優(yōu)反饋控制.這兩種方法是從解決最優(yōu)控制問題的經典方法一最大值原理和動態(tài)規(guī)劃原理這兩個不同的角度出發(fā)的.
　　

14、 從最大值原理的角度出發(fā),我們有:
　　 定理3.3.1.假設存在矩陣值過程(Kt,Ht),t∈[0,T],滿足廣義的矩陣Riccati方程(3.19).則時滯線性二次最優(yōu)控制問題問題3.3的最優(yōu)反饋控制為
　　 從動態(tài)規(guī)劃原理的角度出發(fā),我們有:
　　 在第3章的最后,我們討論時滯線性二次非零和隨機微分對策問題.
　　 定理3.4.1.當且僅當(u1(·),u2(·))具有如下形式
　　 第4章

15、:我們給出了由如下SFDE刻畫的時滯系統(tǒng)的遞歸最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃原理:
　　 定理4.2.10.若A4.4-A4.8成立,則(4.9)式定義的時滯最優(yōu)控制問題的值函數(shù)u(s,ψ)具有如下的優(yōu)良性質:對任意0≤T≤T-s,
　　 我們得到了值函數(shù)滿足的HJB方程-一類無窮維的偏微分方程.
　　 定理4.3.9.如果假設我們問題中的值函數(shù)u(s,ψ)∈C1,2lip([0,T]×C)∩D(S),則u(s,ψ)為如

16、下的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程的解:
　　 這里我們以▽0u(t,x)記▽xu(t,x)({0}).
　　 我們有:
　　 定理4.3.11.如(4.9)式定義的u(s,ψ)為HJB方程(4.33)的一個粘性解.
　　 第5章:在最后一章,我們研究一類廣告模型中的時滯隨機控制問題作為我們理論的應用.這類時滯的廣告模型可以重新定義于Hilbert空間.我們利用無窮維的最大值原理