基于平均逆映射的高效差分格式及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究求解非線性雙曲型守恒律方程的便于計(jì)算、一致高階精度且高分辨率無振蕩的數(shù)值方法。眾所周知，求解雙曲型守恒律初值問題的主要困難是：無論初值函數(shù)如何光滑，它的解都可能含有間斷。在構(gòu)造有限差分格式數(shù)值求解雙曲型守恒律方程的過程中，一階格式計(jì)算在間斷處會(huì)產(chǎn)生過抹，高階格式計(jì)算在間斷處會(huì)產(chǎn)生數(shù)值振蕩，為避免產(chǎn)生數(shù)值振蕩，通常使用的方法是采用TVD限制器函數(shù)進(jìn)行校正，但格式在間斷和極值點(diǎn)處會(huì)退化為一階精度?；诖耍疚奶岢隽艘环N能夠解決間

2、斷處精度不足的新方法——平均逆映射方法，將其分別應(yīng)用于中心差分格式、通量分裂格式以及待定系數(shù)法所構(gòu)造的格式，構(gòu)造了幾類求解非線性雙曲型守恒律的高精度高分辨率差分格式，并通過大量典型數(shù)值算例驗(yàn)證了格式的高效性。本文的主要內(nèi)容如下：
　　1.基于平均逆映射方法選取數(shù)值導(dǎo)數(shù)替代 TVD限制器函數(shù)方法選取數(shù)值導(dǎo)數(shù)，以交錯(cuò)型和非交錯(cuò)型Lax-Friedrichs格式為基本構(gòu)筑模板，利用分段線性重構(gòu)代替分段常數(shù)逼近，分別構(gòu)造了一類求解非線性雙

3、曲型守恒律方程的基于平均逆映射的二階交錯(cuò)型和非交錯(cuò)型的中心差分格式。進(jìn)一步地，利用分段三次多項(xiàng)式重構(gòu)，結(jié)合四階Runge-Kutta NCE方法計(jì)算中間時(shí)間點(diǎn)的值，構(gòu)造了一類求解非線性雙曲型守恒律方程的四階中心差分格式。然后，按分量方法推廣到方程組情形。最后，給出一些典型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所得格式具有形式簡單、一致高階精度、高分辨率且穩(wěn)定等特性；比較了基于平均逆映射方法選取數(shù)值導(dǎo)數(shù)與基于TVD限制器函數(shù)方法選取數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算效果，驗(yàn)證本

4、章方法的高效性。
　　2.采用通量分裂方法，基于平均逆映射方法構(gòu)造正、負(fù)通量的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，分別構(gòu)造了一類求解非線性雙曲型守恒律方程的基于平均逆映射的二階和三階精度的通量分裂差分格式。按分量方法推廣到方程組情形。之后，給出一些典型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所得二階和三階通量分裂差分格式具有形式簡單、一致高階精度、高分辨率且穩(wěn)定等特性。比較和分析了基于平均逆映射方法與基于TVD限制器函數(shù)方法選取數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果。
　　3.利用待定系數(shù)法

5、分別推導(dǎo)了通量函數(shù)一階空間導(dǎo)數(shù)的二階和三階差分逼近，其次，基于平均逆映射方法和TVD限制器函數(shù)方法對(duì)差分逼近加以校正，并結(jié)合 Runge-Kutta TVD時(shí)間離散方法，分別構(gòu)造了一類二階和三階無振蕩差分格式。給出一些典型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所得基于平均逆映射和待定系數(shù)法的二階和三階差分格式具有形式簡單，計(jì)算量小、高分辨率且穩(wěn)定等特性。
　　4.基于淺水波方程與雙曲型守恒律方程之間的緊密聯(lián)系，把第2章中得出的求解雙曲型守恒律的二階交