幾類非線性波方程的精確解與李對(duì)稱分析.pdf

1、許多物理、化學(xué)和生命科學(xué)模型都可以用非線性方程來(lái)描述,例如非線性常微分方程、偏微分方程等.非線性方程的求解已經(jīng)成為非線性科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題.特別是尋求非線性波方程的精確解在非線性問(wèn)題的研究中顯得越來(lái)越重要.
　　本文主要應(yīng)用積分因子法,李對(duì)稱分析方法以及微分方程定性理論對(duì)幾類非線性波方程的精確解進(jìn)行研究.全文內(nèi)容共分為六章.
　　第一章是緒論,簡(jiǎn)要闡述了非線性波方程的發(fā)展歷史,研究現(xiàn)狀和研究意義.
　　第二章是

2、預(yù)備知識(shí),主要介紹了與本文相關(guān)的一些基礎(chǔ)理論和方法.
　　第三章應(yīng)用李對(duì)稱分析方法研究 KdV方程和 Camassa-Holm方程.首先,基于李對(duì)稱分析,研究一般的 KdV方程,求出了方程的對(duì)稱、對(duì)稱約化和群不變解.進(jìn)一步,利用不同的對(duì)稱約化把方程化為常微分方程,同時(shí)結(jié)合首次積分和冪級(jí)數(shù)法,最終獲得顯式精確解和解析解.利用此方法,還可以獲得 Camassa-Holm方程的李點(diǎn)對(duì)稱群及其相應(yīng)的伴隨表達(dá)式,同時(shí)尋找在群的伴隨作用下的不

3、變量,進(jìn)而構(gòu)造一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng),然后利用最優(yōu)系統(tǒng)中的每一個(gè)元素對(duì)方程進(jìn)行對(duì)稱約化,得到方程的群不變解.
　　第四章應(yīng)用微分方程定性理論研究Camassa-Holm方程,得到了所有的周期行波解和它們的極限形式,并通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬來(lái)證明周期行波解的周期函數(shù)是嚴(yán)格遞增函數(shù).
　　第五章應(yīng)用積分因子法研究了具有滲透項(xiàng)的 K(2,2)色散方程,直接求出了它的精確尖波解.利用此方法還可以獲得 Degasperis-Proces