隨機(jī)微分方程的數(shù)值分析及隨機(jī)穩(wěn)定化.pdf

1、本論文主要研究兩部分內(nèi)容：第一部分是在非全局Lipschitz條件下，研究隨機(jī)微分方程的數(shù)值分析，并回答兩個問題：(a)如果隨機(jī)微分方程的精確解是穩(wěn)定的，數(shù)值解是否是穩(wěn)定的? (b)在第一個問題的基礎(chǔ)上，當(dāng)步長充分小時，數(shù)值解穩(wěn)定的Lyapunov指數(shù)是否會收斂到精確解的Lyapunov指數(shù)? 第二部分研究各種隨機(jī)因素(Brown運(yùn)動，Poisson過程和Markov鏈)在幾乎必然和p階矩意義下誘導(dǎo)的穩(wěn)定性(隨機(jī)穩(wěn)定化)。論文主要包括如

2、下8章：
　　第一章介紹了各種隨機(jī)微分方程的一些應(yīng)用背景，以及其數(shù)值方法和隨機(jī)穩(wěn)定化的研究現(xiàn)狀，并給出本論文的工作概要及貢獻(xiàn)。
　　第二章研究非全局Lipschitz系數(shù)的隨機(jī)常微分方程的分裂步theta-Euler方法(SSTE)和隨機(jī)線性theta-Euler(SLTE)方法。當(dāng)漂移系數(shù)滿足單邊Lipschitz條件和多項(xiàng)式Lipschitz條件，擴(kuò)散系數(shù)滿足全局Lischitz條件時，本章得到了這兩類方法的強(qiáng)收斂階1/

3、2和指數(shù)均方穩(wěn)定性以及指數(shù)衰減率。
　　第三章研究非全局Lipschitz系數(shù)的隨機(jī)常微分方程的分裂步theta-Milstein(SSTM)方法和隨機(jī)線性theta-Milstein(SLTM)方法。證明了這兩類theta-Milstein方法在類似第二章的條件下都是以階1強(qiáng)收斂，同時，本章也得到了這兩類theta-Milstein方法的指數(shù)均方穩(wěn)定性和指數(shù)衰減率。
　　第四章提出顯式的半馴服歐拉(Semi-Tamed E

4、uler，簡寫為STE)方法來研究非全局Lipschitz系數(shù)的隨機(jī)常微分方程，其中漂移系數(shù)滿足單邊Lipschitz條件且由Lipschitz部分和非Lipschitz部分組成。本章證明了STE方法的強(qiáng)收斂階是1/2，同時證明了存在步長界使得STE方法可以保持精確解的指數(shù)均方穩(wěn)定性及Lyapunov指數(shù)界。
　　第五章研究了隨機(jī)微分延遲方程(SDDE)的SSTE和SLTE方法的收斂性和穩(wěn)定性。一方面研究了這兩類theta-Eul

5、er方法在非全局Lipschitz條件下的強(qiáng)收斂階，另一方面研究了其在耦合的條件下的指數(shù)均方穩(wěn)定性，這些結(jié)論與第二章的收斂性和穩(wěn)定性結(jié)果類似。
　　第六章研究中立型隨機(jī)微分延遲方程(NSDDE)的精確解和數(shù)值解的指數(shù)均方穩(wěn)定性。首先給出了一個改進(jìn)的指數(shù)均方穩(wěn)定性結(jié)果，然后研究了兩類theta-Euler方法(SSTE和SLTE)的指數(shù)均方穩(wěn)定性，并且得到了類似于上一章中的SDDE的穩(wěn)定性結(jié)果。
　　第七章的研究對象是結(jié)構(gòu)切換

6、的跳擴(kuò)散系統(tǒng)，其包含三類隨機(jī)過程：Brown運(yùn)動，Poisson過程和Markov切換。本章研究了這三種隨機(jī)因素對系統(tǒng)的p階矩和幾乎必然穩(wěn)定性和隨機(jī)穩(wěn)定化的影響。首先研究線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定化，然后研究了滿足單邊線性增長條件的系統(tǒng)的穩(wěn)定化，最后研究了含有有限爆破時的非線性系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定化，其中正則化（壓制爆破）和穩(wěn)定化是通過引入合適的擴(kuò)散以及Poisson跳和Markov切換擾動來實(shí)現(xiàn)的。
　　第八章研究帶Markov切換和Po