一類橢圓偏微分方程解的水平集的高斯曲率估計(jì).pdf

1、凸性作為一個(gè)重要的幾何特征，長期以來一直是橢圓偏微分方程研究中的重要主題．本文的主要研究對(duì)象是橢圓偏微分方程解的水平集的凸性．利用經(jīng)典的極大值原理，本文給出了p-調(diào)和函數(shù)水平集高斯曲率的最佳正下界估計(jì)，也給出了Rn中極小曲面水平集高斯曲率的最佳正下界估計(jì)和一類半線性方程解的水平集高斯曲率的正下界估計(jì)．另一方面，本文還研究了p-調(diào)和函數(shù)水平集的高斯曲率關(guān)于函數(shù)高度的凹性．具體地說，本文的主要結(jié)果如下．
　　 Ⅰ．p-調(diào)和函數(shù)水平集

2、高斯曲率的正下界估計(jì)
　　 定理0.0.1．設(shè)Ω(C)Rn(n≥2)是一個(gè)有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))是定義在Ω上的p-調(diào)和函數(shù)，即u滿足p-調(diào)和方程
　　 div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ.
　　 設(shè)1＜p＜+∞，在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.若u的水平集相對(duì)于梯度▽u的方向是嚴(yán)格凸的，那么我們有下面的論斷．
　　 情形1:若n≥2，1＜p＜+∞，則函數(shù)|▽u

3、|n+1-2pK在邊界上取到最小值．
　　 情形2:若n=2，1＜p＜+∝或n≥3，1+2/n≤p≤n，則函數(shù)|▽u|1-pK在邊界上取到最小值．
　　 情形3:若n=2,3/2≤p≤3；n=3，2≤p＜+∞或n≥4，p=n+1/2，則函數(shù)K在邊界上取到最小值．
　　 根據(jù)定理0.0.1，我們可以得到p-調(diào)和函數(shù)水平集高斯曲率的正下界估計(jì)．
　　 推論0.0.2．設(shè)Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中有界光滑凸區(qū)

4、域，并且Ω1(C)Ω0.設(shè)u滿足下述Dirichlet問題
　　 ({)div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ=Ω0\(Ω)1,u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1，其中1＜p＜+∞．記u的水平集的高斯曲率為K.那么我們有下面的曲率估計(jì)．
　　 情形1a:若1＜p≤n+1/2，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）n+l-2p．
　　 情形1b:若n+1/2＜p

5、＜+∞，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）2p-n-1．
　　 情形2:若n=2，1＜p＜+∞;或n≥3，1+2/n≤p≤n，minΩK≥min(a)ΩK（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|/）p-1．
　　 情形3:若n=2,3/2≤p≤3;n=3，2≤p＜+∞或n≥4，p=n+1/2，minΩK≥min(a)ΩK．
　　 特別地，對(duì)于調(diào)和函數(shù)，

6、我們有下面的命題．
　　 命題0.0.3．設(shè)Ω是Rn(n≥2)中的區(qū)域，u是定義在Ω上的調(diào)和函數(shù)，并且u在Ω內(nèi)沒有臨界點(diǎn)，記u的水平集的高斯曲率為K．定義函數(shù)(Ψ)=|▽u|-1K.設(shè)u的水平集相對(duì)于梯度▽u的方向是嚴(yán)格凸的．那么，在模掉梯度項(xiàng)▽(Ψ)的意義下，函數(shù)(Ψ)是Ω上的上調(diào)和函數(shù)，即成立下面的微分不等式△(Ψ)≤C|▽(Ψ)|inΩ，其中正常數(shù)C依賴于n和‖u‖c3(Ω)．
　　 Ⅱ.極小曲面方程解的水平集的高

7、斯曲率正下界估計(jì)
　　 定理0.0.4．設(shè)Ω是Rn（n≥2）中的有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))滿足下述極小曲面方程div（▽u/(1+|▽u|2)）=0inΩ(C)Rn．設(shè)在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.若u的水平集相對(duì)于梯度▽u的方向是嚴(yán)格凸的，那么我們有下面的結(jié)論．
　　 (i)當(dāng)n=2時(shí)，函數(shù)（|▽u|2/1+|▽u|2）-1/2K在邊界上取到最大值和最小值．
　　 (ii

8、)當(dāng)n≥3，并且θ=-1/2或θ≥n-3/2時(shí)，函數(shù)（|▽u|2/1+|▽u|2）θK在邊界上取到最小值．
　　 類似地，我們可以得到極小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估計(jì)．
　　 推論0.0.5．設(shè)Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0.記Ω=Ω0\(Ω)1.設(shè)u滿足Dirichlet問題({)div(▽u/(1+|▽u|2))=0inΩ，u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1．<

9、br>　　 記u的水平集的高斯曲率為K．那么，我們有下述估計(jì)minΩK≥（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|）(1+min(a)Ω0|▽u|2)/(1+max(a)Ω1|▽u|2)min(a)ΩK．
　　 Ⅲ.半線性方程解的水平集的高斯曲率正下界估計(jì)
　　 定理0.0.6．設(shè)Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑區(qū)域，u∈C4(Ω)∩C2((Ω))滿足半線性方程△u=f(x，u，▽u)inΩ，其中f≥0，f∈C

10、2(Ω×R×Rn)．設(shè)在(Ω)上|▽u|≠0．記u的水平集的高斯曲率為K.設(shè)u的水平集相對(duì)于梯度▽u的方向是嚴(yán)格凸的．為表述方便，我們記下述兩個(gè)斷言分別為(A1)和(A2)，即
　　 (A1)函數(shù)|▽u|-2K在邊界上取到最小值．
　　 (A2)函數(shù)|▽u|n-1K在邊界上取到最小值．那么我們有如下結(jié)論，
　　 情形1:f=f(u)．當(dāng)fu≥0時(shí)，(A1)成立;當(dāng)fu≤0時(shí)，(A2)成立．
　　 情形2:

11、f=f(x)．如果映射F∶(0，+∞)×Ω→R，(t，x)(→)t3f(X)是凸的(當(dāng)f＞0時(shí)，等價(jià)于f-1/2是凹的)，那么(A2)成立．
　　 情形3:f=f(x，u)．設(shè)對(duì)每一個(gè)固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Ω→R,(t,x)(→)t3f(x，u)是凸的．如果fu≤0，那么(A2)成立．
　　 情形4:f=f(u，▽u)．設(shè)對(duì)每一個(gè)固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Sn-1→R，(t,p

12、)(→)t3f(u，p/t)是凸的．當(dāng)fu≥0時(shí)，(A1)成立;當(dāng)fu≤0時(shí)，(A2)成立;
　　 情形5:f=f(x，u，▽u)．設(shè)對(duì)每一個(gè)固定的u∈(0，1)，映射Fu∶(0,+∞)×Ω×Sn-1→R,(t,x,p)(→)t3f(X，u，p/t)是凸的．當(dāng)fu≤0時(shí)，(A2)成立．
　　 推論0.0.7．設(shè)Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中的有界光滑凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0.記Ω=Ω0\Ω1.設(shè)u滿足Dirichle

13、t邊值問題△u=f(u)inΩ，u=0on(a)Ω0，u=1on(a)Ω1，這里f∈C2(R)，單調(diào)遞增，并且f(0)=0．記u的水平集的高斯曲率為K.那么，我們有下述估計(jì)minΩK≥（min(a)Ω0|▽u|/max(a)Ω1|▽u|）2min(a)ΩK．
　　 Ⅳ．p-調(diào)和函數(shù)水平集的高斯曲率關(guān)于函數(shù)高度的凹性
　　 定理0.0.8.設(shè)u滿足Dirichlet問題({)div(|▽u|p-2▽u)=0inΩ=Ω0＼(

14、Ω)1,u=0on(a)Ω0，u=1onaΩ1，其中Ω0和Ω1是Rn（n≥2）中的有界光滑嚴(yán)格凸區(qū)域，并且(Ω)1(C)Ω0，1＜p＜+∞．對(duì)t∈(0，1)，記Ωt={x∈Ω∶u(X)=t)．設(shè)u的水平集的高斯曲率為K.對(duì)t∈[0，1]，定義函數(shù)f(t)=minx∈Ω（|▽u|n+1-2pK）1/n-1(x).那么，f(t)是區(qū)間[0，1]上的凹函數(shù)．即對(duì)任意的x∈Ωt，我們有下面的不等式(|▽u|n+1-2pK)1/n-1(X)≥（1