一類退化擬線性偏微分方程的解.pdf

1、許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來(lái)描述，很多重要的物理、力學(xué)學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程．近兩百年來(lái)，最常見(jiàn)的偏微分方程(熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程、波動(dòng)方程等)緊密聯(lián)系著在物理學(xué)、力學(xué)、幾何學(xué)等方面的需要；而在經(jīng)典偏微分方程理論的范疇中,以多元微積分學(xué)(以及常微分方程、復(fù)變函數(shù)、線性代數(shù)等)為主要工具，形成了許多至今仍在廣泛使用的有效方法． 隨著應(yīng)用偏微分方程的發(fā)展，很多意義重大的自然科學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為非線性偏微分

2、方程的研究，而且隨著研究的深入，有些原先都可用線性偏微分方程作近似處理的問(wèn)題，也必須考慮非線性項(xiàng)的影響．因此，現(xiàn)時(shí)應(yīng)用偏微分方程研究的主體是非線性偏微分方程．在Sobolev空間理論基礎(chǔ)上建立起來(lái)的泛函分析方法，為處理線性及非線性偏微分方程的問(wèn)題提供了一個(gè)強(qiáng)有力的框架和工具，并在實(shí)踐中已得到廣泛的應(yīng)用．其后，又以廣義函數(shù)的出現(xiàn)為標(biāo)志，提供了處理偏微分方程問(wèn)題的又一種框架，在其中，許多經(jīng)典的方法(突出的如Fourier分析)進(jìn)一步發(fā)揮了重

3、大的作用．在此基礎(chǔ)上，以后還連續(xù)出現(xiàn)了擬線性微分算子、Fourier積分算子、微局部分析、超函數(shù)等新的強(qiáng)有力理論和工具，不僅極大地改變了線性偏微分方程的面貌，并開(kāi)始應(yīng)用于處理非線性偏微分方程的問(wèn)題． 本文主要分別討論了兩類擬線性偏微分方程的解．其一，推廣了P-Laplacian算子構(gòu)成的偏微分方程的結(jié)果；運(yùn)用了不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了退化的擬線性橢圓型偏微分方程的正解問(wèn)題以及正解的分叉問(wèn)題，同時(shí)考慮了由退化的擬線性算子構(gòu)成特征值問(wèn)題