一類橢圓偏微分方程解的凸性估計(jì)及其應(yīng)用.pdf

1、解的幾何性質(zhì)是偏微分方程理論中的一個(gè)基本問題，而凸性作為一個(gè)重要的幾何特征，長(zhǎng)期以來一直是橢圓偏微分方程研究中的重要主題.本文的主要研究對(duì)象是橢圓偏微分方程解的凸性估計(jì).利用經(jīng)典的極大值原理，本文給出了有界凸區(qū)域上Saint-Venant扭轉(zhuǎn)問題解的凸性估計(jì)以及Laplace算子第一特征函數(shù)和格林函數(shù)的凸性估計(jì).另一方面，本文還研究了Monge-Ampère方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估計(jì).具體地說，本文的主要結(jié)果如下.
　

2、　 Ⅰ.Saint-Venant扭轉(zhuǎn)問題解的凸性估計(jì)定理0.1.設(shè)Ω是Rn中的光滑有界凸區(qū)域,n≥2，u是Saint-Venant扭轉(zhuǎn)問題{Δu=-2inΩ，u=0on(6)Ω的解.如果v=-(√u)是嚴(yán)格凸函數(shù)，那么函數(shù)Ψ1=(-v)n+2detD2v=(-2)-nudetD2u＋（-2）-n-1nΣi,j=1(6)detD2u/(6)uijuiuj滿足如下的微分不等式:ΔΨ1≤0mod(▽?duì)?)inΩ，這里我們模掉了含有局部有界系

3、數(shù)的梯度項(xiàng).進(jìn)而，函數(shù)Ψ1在邊界(6)Ω達(dá)到其最小值并有如下估計(jì):Ψ1=(-v)n+2detD2v≥2-(n+1)min(6)ΩKmin(6)Ω丨▽u丨n+1，(6)Ω其中K是(6)Ω的高斯曲率.最后，函數(shù)Ψ1在Ω內(nèi)部達(dá)到其最小值當(dāng)且僅當(dāng)Ω是橢球（圓）.
　　 推論0.2.設(shè)Ω是Rn中的光滑有界嚴(yán)格凸區(qū)域,(k)min，(k)max和Kmin分別是邊界(6)Ω的最小主曲率，最大主曲率和最小高斯曲率.如果u是Saint-Venan

4、t扭轉(zhuǎn)問題的解且v=-(√u),那么v的圖的高斯曲率KG滿足如下的最佳估計(jì):KG=detD2v/(1+|▽v|2)n+2/2≥Kmin(k)n+2min/nn/2(k)n+1maxinΩ.當(dāng)Ω是Rn的標(biāo)準(zhǔn)單位球時(shí)，上式中的等號(hào)在原點(diǎn)處成立.
　　 Ⅱ.Laplace算子第一特征函數(shù)的凸性估計(jì)定理0.3.設(shè)Ω是Rn中的光滑有界凸區(qū)域,n≥2,u＞0是Laplace算子第一特征值問題{Δu+λu=0inΩ,u=0on(6)Ω的解.如

5、果v=-logu是嚴(yán)格凸函數(shù)，那么函數(shù)Ψ2=e-(n+1)vdetD2v=（-1）nudetD2u＋（-1）n-1n∑i,j=1(6)detD2u/(6)uijuiuj滿足如下的微分不等式:ΔΨ2≤0mod（▽?duì)?）inΩ，這里我們模掉了含有局部有界系數(shù)的梯度項(xiàng).進(jìn)而，函數(shù)Ψ2在邊界達(dá)到其最小值.因而，我們得到這一問題解的如下估計(jì)Ψ2=e-(n+1)vdetD2v≥min(6)ΩKmin(6)Ω丨▽u丨n+1，其中K是(6)Ω的高斯曲率

6、.
　　 Ⅲ.格林函數(shù)的凸性估計(jì)定理0.4.設(shè)Ω是Rn中的光滑有界凸區(qū)域,n≥2，x0∈Ω，u＞0是Ω上奇點(diǎn)位于χ0的格林函數(shù)，即如下問題的正解，{Δu=-δ(x-x0)inΩ，u=0on(6)Ω,其中δ(x-x0)是在點(diǎn)x0的Dirac測(cè)度.當(dāng)n=2時(shí)，令v=e-αu，α＞2π;當(dāng)n≥3時(shí)，令v=u1/2-n.如果v是嚴(yán)格凸函數(shù)，那么函數(shù)Ψ=v2-n2detD2v，即，當(dāng)n=2時(shí)，Ψ=α2（detD2u-α2∑i,j=1(6)

7、detD2u/(6)uijuiuj）或當(dāng)n≥3時(shí)，Ψ=（1/n-2）n（（-1）nudetD2u+（-1）n-1n-1/n-2nΣi,j=1(6)detD2u/(6)uijuiuj），滿足如下微分不等式:ΔΨ≤0mod（▽?duì)罚﹊nΩ\{x0｝，這里我們模掉了含有局部有界系數(shù)的梯度項(xiàng).進(jìn)而，函數(shù)Ψ在邊界(6)Ω上達(dá)到最小值.對(duì)n≥3，我們有如下估計(jì)Ψ≥n-1/(n-2)n+1min(6)ΩKmin(6)Ω|▽u|n+1,其中K是(6)Ω的

8、高斯曲率.推論0.5.設(shè)Ω是Rn中的光滑有界嚴(yán)格凸區(qū)域,n≥3，x0∈Ω，u＞0是Ω上奇點(diǎn)位于x0的格林函數(shù)且v=u1/2-n.那么v在Ω\{x0}上是嚴(yán)格凸的.
　　 Ⅳ.Monge-Ampère方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估計(jì)定理0.6.設(shè)Ω是Rn中的有界凸區(qū)域,n≥2.若u是如下Monge-Ampère方程Dirichlet問題{detD2u=1inΩ,u=0on(6)Ω的嚴(yán)格凸解，則函數(shù)(φ)=nΣk,l=1(6)

9、σn(D2u)/(6)uklukul-2u在邊界(6)Ω達(dá)到它的最大值.定理0.7.在上述定理相同的假設(shè)下，函數(shù)Ψ=n∑k,l=1(6)σ2(D2u)/(6)uklukul-2(n-1)u在邊界(6)Ω上達(dá)到它的最大值.而且,Ψ在Ω內(nèi)部達(dá)到它的最大值當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，Ω是橢圓而n≥3時(shí)，Ω是球.
　　 推論0.8.設(shè)Ω是Rn中的有界光滑嚴(yán)格凸區(qū)域,n≥2.若u是上述定理中Monge-Ampère方程Dirichlet問題的嚴(yán)格凸