一類水波方程-BCL方程組的適定性.pdf

1、復旦大學博士學位論文一類水波方程-BCL方程組的適定性姓名：胡軍其申請學位級別：博士專業(yè)：基礎數(shù)學指導教師：洪家興20070301摘 要在本文的第一章我們將介紹淺水波理論的一些基礎知識，并且會給出B C L 方程組的導出方法，主要用到漸進展開的技巧?？梢钥闯?，在一維情形下它們正是B o n a - C h e m S a u t 方程組。其間，我們會簡略的介紹一下這些水波方程的研究進展。第二章將討論2 個空間變量的B C L 方程組孤立

2、波解。M ．C h e n 給出1 個空間變量的B C L 方程組的孤立波解，我們采用類似的方法。首先通過行波約化將方程化為一個非線性非齊次常微分方程組，在垂直傳播方向為穩(wěn)態(tài)解的前提下，借助于M ，C h e n 的方法給出這個方程組的一個孤立波解，從中我們可以看出色散項的顯著作用。在垂直傳播方向為非穩(wěn)態(tài)解的情形下，這個常微分方程組變得非常的復雜，這個問題有待進一步研究。第三章將討論2 個空間變量的B C L 方程組具有守恒律所需要的條

3、件。并在此基礎上我們用解的局部延拓方法討論這個方程組的整體適定性，給出解的正則性。由于守恒律并不是正定的，我們只能在適當小的初值情形下給出適定性。第四章轉而研究2 個空間變量的B C L 方程組在沒有守恒律情形下的適定性問題。然而由于線性問題衰減不夠，我們考慮有粘性的B C L 方程組。我們使用了雙曲方程中常用的把方程組對角化的辦法，給出這個方程組的積分形式；然后給出算子必要的估計，其中我們使用了擬微分算子、調(diào)和分析等技術，類似的方法可

4、以用于同類型的方程。最后構造一個函數(shù)空間，使得在小初值條件下這個方程組在這個空間中有解，這里使用了小初值整體迭代的技巧。當然為了克服導數(shù)損失，需要把頻譜空間分位高中低頻，得出更精細的估計。第五章我們給出退化情形下B C L 方程組的適定性，由于退化引起了解的存在空間的復雜化，這一章是第四章的延續(xù)。在第五章中我們使用b o o t s t r a p 方法給出前幾章所研究方程組C a u c h y 問題解的正則性。關鍵詞水波方程，擬微分