一類淺水波方程Cauchy問(wèn)題解的性質(zhì)研究.pdf

1、本文研究了一類淺水波方程Cauchy問(wèn)題解的若干性質(zhì)，包括局部適定性、爆破、整體強(qiáng)解的存在性以及整體弱解的存在性等.這些淺水波方程都來(lái)源于現(xiàn)代力學(xué)和物理學(xué)，是非線性科學(xué)中的重要研究對(duì)象，特別是在孤立子與可積系統(tǒng)領(lǐng)域里.論文結(jié)構(gòu)如下:
　　第1章簡(jiǎn)要介紹問(wèn)題的背景以及研究現(xiàn)狀.
　　在第2章中我們考慮弱耗散廣義μ-Hunter-Saxton方程的Cauchy問(wèn)題，給出了局部適定性、強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率、解映射的H(o)lde

2、r連續(xù)性、整體強(qiáng)解的存在性以及整體弱解的存在性.主要目的在于討論自由參數(shù)σ和耗散參數(shù)λ同時(shí)對(duì)解的爆破和整體存在性的影響.運(yùn)用Littlewood-Paley理論或者Kato半群理論，我們首先證明方程對(duì)任意的初始值u0∈Hs(S)，s＞3/2都是局部適定的.然后利用能量方法，根據(jù)參數(shù)σ的符號(hào)討論強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率.再給出最大存在時(shí)間T關(guān)于‖u0‖Hs(s）的一個(gè)顯式下界以及解的大小估計(jì)，并且證明方程的解映射在Hs(S)，s≥2(裝配著

3、H'(S)拓?fù)洌?≤r＜s）中的H(o)lder連續(xù)性.再者，根據(jù)兩個(gè)系數(shù)A，σ取商的符號(hào)討論整體強(qiáng)解的存在性.最后，利用粘性逼近法得到H1(S)中整體弱解的存在性，與以往工作不同的是，這里我們不需要利用Ole(ǐ)nik型估計(jì).由于該估計(jì)在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中很難驗(yàn)證，所以這種改進(jìn)是有意義的.
　　在第3章中我們討論弱耗散廣義兩分量μ-Hunter-Saxton系統(tǒng)的Cauchy問(wèn)題，給出了局部適定性、強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率、整體強(qiáng)解的存

4、在性以及整體弱解的存在性.目的是討論自由參數(shù)σ和耗散參數(shù)λ在兩分量情形中同時(shí)對(duì)解的爆破和整體存在性的影響.類似于第二章，我們首先給出方程在Hs(S)×Hs-1(S)，s＞3/2中的局部適定性.再根據(jù)參數(shù)σ的符號(hào)討論強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則和爆破率，并且給出σ＞0時(shí)生命跨度的下界.最后通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)給出0≤σ＜2時(shí)整體強(qiáng)解的存在性.
　　在第4章中我們研究修正兩分量Camassa-Holm系統(tǒng)高維情形的Cauchy問(wèn)題.首先，運(yùn)