一類具阻尼IBq方程的Cauchy問題.pdf

1、本文分五章:第一章為引言;第二章研究一類具阻尼IBq方程的Cauchy問題局部解的存在性和惟一性;第三章研究了Cauchy問題整體解的存在性和惟一性;第四章證明上述Cauchy問題解的不存在性及有限時刻的爆破,并給出解爆破的充分條件;第五章我們首先得到一些估計,利用這些估計得到小初值條件下解的衰減性質,從而證明了整體解的存在性.具體內(nèi)容如下:在第二章中,我們研究如下一類具阻尼IBq方程的Cauchy問題局部解的存在性和惟一性,其中v0≥

2、0,v1≥0,v0+v1>0是常數(shù),u(x,t)為未知函數(shù),f(u)是給定的非線性函數(shù),下標t,x分別表示對t,x求導.為此,注意到I-在Hs(R)上是可逆算子,我們將對(1)等價變形為然后利用壓縮映射原理證明Cauchy問題(3),(2)局部解的存在性和惟一性,從而可得問題(1),(2)局部解的存在性和惟一性.
　　主要結果如下:定理1設s>1/2,φ∈Hs,ψ∈Hs,f∈C[s]+1(R)和f(0)=0,則Cauchy問題(1

3、),(2)存在惟一的局部解u∈C1([0,T0);Hs),其中[0,T0)是解u(x,t)存在的最大時間區(qū)間,且當?shù)谌伦C明了Cauchy問題(1),(2)整體解存在惟一性.
　　主要結果如下:定理2設s>1/2,φ∈Hs,ψx∈Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,和[0,T0)是Cauchy問題(1),(2)的解u(x,t)存在的最大時間區(qū)間,如果其中M2是常數(shù),則T0=∞.
　　定理3設φ∈H1,ψ∈H2,F(u

4、)≥0,f∈C2(R)和f(u),F(u),且滿足其中A,B為正常數(shù),則問題(1),(2)有整體解u(x,t)∈C1([0,∞);H1).第四章則借助一加權函數(shù),用凸性方法得到了問題(1),(2)的解在有限時刻發(fā)生爆破的充分條件.
　　主要結果如下:定理4設u(x,t)是問題(1),(2)的解,φ∈H1,ψ∈H2,∈L2,F(u),F(u)∈L1,f(u)∈C2(R),(a+1)u2+2aF(u)+f(u)u≥0,a≥1,則Cau

5、chy問題(1.1),(1.2)的解u(x,t)在有限時刻爆破,如果下列條件之一成立:且[2(φ,ψ)+2(φ,ψx)+v0||ψ||2+v1||φ||2]2≥8(||ψ||2+||φ||2)E(0).第五章討論了小初值條件下Cauchy問題(1),(2)整體解的存在性.為此,我們首先研究線性問題解的一些估計,然后利用壓縮映射原理得到了整體解的存在性.
　　主要結果如下:定理5設φ∈H1∩L1,ψ∈H2∩L1,h∈L2(0,T:H