一類具阻尼非線性波動(dòng)方程的Cauchy問題.pdf

1、本文研究下列一類具阻尼非線性波動(dòng)方程的Cauchy問題其中α>0,b>0為常數(shù),u(x,t)是未知函數(shù),下標(biāo)x和t分別表示對(duì)x和對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù),f(s)表示給定的非線性函數(shù),u0(x)和u1(x)是定義在R上的已知初值函數(shù).
　　本文分四章:第一章為引言;第二章研究方程(1)的周期邊值問題;第三章研究Cauchy問題(1),(2)整體廣義解和古典解的存在唯一性;第四章應(yīng)用凸性方法研究上述初值問題解的爆破性;并舉例說明滿足解爆破條件的

2、函數(shù)是存在的.
　　主要結(jié)果如下:定理1設(shè)u0∈H4(Ω)和u1∈H2(Ω)是x的2D周期函數(shù),f∈C2(R)和f’(s)是下有界的,即存在常數(shù)C0使得對(duì)于任意的s∈R,f’(s)≥C0.則方程(1)的周期邊值問題存在唯一整體廣義解其中Ω=(-D,D)和u(x,t)在古典意義下滿足周期邊界條件(3)和初值條件(4).
　　定理2設(shè)u0∈H7(Ω),u1∈H5(Ω)均為x的周期為2D的周期函數(shù),f(s)∈C5(R)和f’(s)

3、是下有界的.則周期問題(1),(3),(4)存在唯一的整體古典解.
　　定理3設(shè)u0∈H4(R),u1∈H2(R),f(s)∈C2(R)和f’(s)是下有界的.則Cauchy問題(1),(2)存在唯一的整體廣義解其中u(x,t)在古典意義下滿足初值條件.如果設(shè)u0∈H7(R),u1∈H5(R),f(s)∈C5(R)和f’(s)是下有界的.則Cauchy問題(1),(2)存在唯一的整體古典解.
　　定理4設(shè)α>0,b>0,f(

4、s)∈C(R),u0∈H2(R),u1∈L2(R),F(s),F(u0x)∈L1(R)和存在β>0使得則Cauchy問題(1),(2)的廣義解u(x,t)或古典解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破,如果下列條件之一成立:(1)E(0)<0;(2)E(0)=0和β(u0,u1)>b||u0x||2;(3)E(0)>0和4β2-4b2||u0x||2-||u0x||4-4b||u0||2||u0x||2>4β2(||u0||2+2b||u0x||2